Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014 môn: Toán 9

Phòng giáo dục - đào tạo
Tiền hải
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014
Môn: Toán 9
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4 điểm) 
	a) Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món phương trỡnh: .
	b) Chứng minh rằng nếu mỗi số tự nhiờn a và b đều là tổng của hai số chớnh phương thỡ ab cũng là tổng của hai số chớnh phương.
Bài 2 (4 điểm)
1) Cho biểu thức: 
	a) Rỳt gọn A
	b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A với và 
2) Đa thức f(x) khi chia cho được số dư là 14 và khi chia cho được số dư là 2. 
	Tỡm đa thức dư trong phộp chia đa thức f(x) cho đa thức: .
Bài 3 (4,0 điểm)
Cho phương trỡnh: x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 7 = 0 (m là tham số)
	a) Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt.
	b) Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thỏa món |x1 – x2|= 12.
c) Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức: A = cú giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú.
Bài 4 (6,0 điểm)
	Cho tam giỏc nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường trũn tõm O bỏn kớnh R. Vẽ cỏc đường cao AD, BE, CF. Vẽ đường kớnh AK của đường trũn tõm O. 
	a) Chứng minh: AB.AC = AD.AK và SABC = 
	b) Chứng minh: OA vuụng gúc với EF
	c) Vẽ đường trũn (I) đi qua B, C và tiếp xỳc với AB tại B. Gọi M là giao điểm của cạnh AC với đường trũn (I), N là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng BK. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, N, M thuộc một đường trũn.
Bài 5 (2,0 điểm)
	Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. D là một điểm nằm trong tam giỏc sao cho CD = CA. M là một điểm trờn cạnh AB sao cho . N là giao điểm của MD và đường cao AH của ABC. Chứng minh DM = DN.
–––––––––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––––––––––
Phòng giáo dục - đào tạo
Tiền hải
kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014
đáp án và biểu điểm chấm môn : Toán 9
 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 05trang)
Bài 1 (4,0 điểm)
	a) Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món phương trỡnh: .
	b) Chứng minh rằng nếu mỗi số tự nhiờn a và b đều là tổng của hai số chớnh phương thỡ ab cũng là tổng của hai số chớnh phương.
Cõu
Nội dung
Điểm
a)
(2điểm)
Ta cú: 
0.5
0.5
0.25
Lớ luận, lập bảng tỡm được cỏc cặp (x, y) là : (0; -1); (0; 1); (3; -1), (3; 1)
0.5
Vậy cỏc cặp số (x, y) cần tỡm là: (0; -1); (0; 1); (3; -1), (3; 1)
0.25
b)
(2điểm)
Vỡ a và b đều bằng tổng của hai số chớnh phương nờn ta cú thể viết:
a = m2 + n2, b = c2 + d2 (m, n, c, d là cỏc số nguyờn)
0.25
Ta cú: ab = (m2 + n2)(c2 + d2) = m2c2 + m2d2 + n2c2 + n2d2
0.5
	 = (m2c2+n2d2+2mcnd)+(n2c2+m2d2 – 2mcnd)
0.5
	 = (mc +nd)2 + (nc – md)2 
0.5
Vậy nếu mỗi số tự nhiờn a và b đều là tổng của hai số chớnh phương thỡ ab cũng là tổng của hai số chớnh phương.
0.25
Bài 2(4 điểm):
1) Cho biểu thức: 
	a. Rỳt gọn A
	b. Tớnh giỏ trị của biểu thức A với và 
2) Đa thức f(x) khi chia cho được số dư là 14 và khi chia cho được số dư là 2. 
	Tỡm đa thức dư trong phộp chia đa thức f(x) cho đa thức: .
Cõu
Nội dung
Điểm
1.a
(1,75điểm)
ĐKXĐ: x > 0, y > 0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
1.b
(0.75điểm)
Ta cú: ĐKXĐ, ĐKXĐ
Thay vào biểu thức ta cú: 
0,25
Tớnh đỳng được A = 
Vậy với thỡ A = 
0,5
2
(1,5điểm)
Vỡ f(x) chia cho x – 5 dư 14 nờn f(5) = 14
Vỡ f(x) chia cho x + 1 dư 2 nờn f(–1) = 2
0,5
Gọi thương và dư của phộp chia f(x) cho x2 – 4x – 5 là g(x) và ax+b ta cú:
f(x) = (x2 – 4x – 5).g(x) + ax + b = (x – 5)(x + 1).g(x) + ax + b
0,25
f(5) = 5a + b = 14; f(–1) = –a + b = 2
0,25
Ta cú hệ phương trỡnh: 
Giải hệ được a = 2, b = 4
0,25
Vậy dư trong phộp chia đa thức f(x) cho đa thức x2 – 4x – 5 là 2x + 4
0,25
Bài 3(4 điểm):
Cho phương trỡnh (ẩn x): x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 7	 = 0
	a) Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt.
	b) Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thỏa món |x1 – x2|= 12.
c) Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức: A = cú giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú.
Cõu
Nội dung
Điểm
a)
Ta cú: a = 1; b = –2(m + 1) b’ = –(m + 1); c = m2 – 4m + 7
Vỡ a = 1 0 nờn phương trỡnh đó cho cú 2 nghiệm phõn biệt >0
Hay (m+1)2 – (m2 – 4m + 7) > 0 m > 1
Vậy với m > 1 thỡ phương trỡnh đó cho cú 2 nghiệm phõn biệt
1,0
b)
Phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 0 hay (m+1)2 – (m2 – 4m + 7) 0 m 1
0,25
Hai nghiệm của phương trỡnh là x1, x2, theo Vi-ột ta cú: 
0,25
Ta cú: |x1 – x2| = 12 (x1 – x2)2 = 144 
0,25
 [2(m+1)]2 – 4(m2 – 4m + 7) = 144
0,25
 4m2 + 8m + 4 – 4m2 + 16m – 28 = 144
 24m = 168 m = 7 ( thỏa món điều kiện m 1)
0,25
Vậy m=7 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thỏa món |x1 – x2|= 12.
0,25
c)
Theo cõu b, phương trỡnh cú nghiệm khi m 1
Hai nghiệm của phương trỡnh là x1, x2, theo Vi-ột ta cú: 
Ta cú: 
0,25
0,25
0,25
 ( Với m 1)
0,25
Dấu “=” xảy ra khi m = 1 Amin=28
0,25
Vậy với m = 1 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thỏa món Amin=28
0,25
Bài 4(6 điểm):
	Cho tam giỏc nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường trũn tõm O bỏn kớnh R. Cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kớnh AK của đường trũn tõm O. 
	a) Chứng minh: AB.AC = AD.AK và SABC = 
	b) Chứng minh: OA vuụng gúc với EF
	c) Vẽ đường trũn (I) đi qua B, C và tiếp xỳc với AB tại B. Gọi M là giao điểm của cạnh AC với đường trũn (I), N là giao điểm của đường thẳng AH và đường thẳng BI. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, N, M thuộc một đường trũn.
Cõu
Nội dung
Điểm
a)
+) Chứng minh ABD S
AKC (gg) suy ra AB.AC = AD.AK 
1
+) Theo cõu a ta cú: 
 suy ra Vậy SABC = 
1
b)
Chứng minh được 
1
Mà Vậy OA EF
1
c)
+) 
0,5
0,5
 BM // EF
0,25
+) Chứng minh được 
0,25
+) Chứng minh được đpcm
0,5
Bài 5(2 điểm):
	Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. D là một điểm nằm trong tam giỏc đú sao cho CD=CA; M là một điểm trờn cạnh AB sao cho . N là giao điểm của MD và đường cao AH của ABC. Chứng minh DM = DN.
Cõu
Nội dung
Điểm
Vẽ đường trũn (C,CA) cắt đường thẳng BD tại E 
 BA là tiếp tuyến của đường trũn 
Ta cú: BA2 = BD.BE = BH.BC nờn tứ giỏc DHCE nội tiếp 
0,75
 HA là phõn giỏc của gúc DHE
Mà AH BC nờn HA, HB tương ứng là phõn giỏc trong và phõn giỏc ngoài của gúc DHE do đú nếu I là giao của AH và BE thỡ 
0,5
Mà theo giả thiết: nờn MN // AE 
do đú: 
0,5
Kết hợp với (*) ta cú: 
0,25