Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Cẩm Thủy

PHÒNG GD&ĐT CẨM THỦY
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút.
Ngày thi: 06/4/2016
Câu 1: (4đ) Cho biểu thức: 
	a. Rút gọn biểu thức A.
	b. Tìm các giá trị tự nhiên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên dương?
Câu 2: (6đ)
	a. Giải pt: 
	b. Giải pt nghiệm nguyên: y6 + x2 +4x = 736.
	c. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
	Tìm giá trị của biểu thức: P = (a - b)2015 + (b - c)2016 + (c - a)2017.
Câu 3(3đ). 
	a. Cho các số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng: (a -b)(b - c)(c - a) 2
	b. Cho a,b,c > 0 và a + 2b + 3c 20. Tìm GTNN của 
	S = a + b + c 
Câu 4(6đ). Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại M và N.
	a.Chứng minh rằng: DN.CM = a2
	b. Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chưng minh rằng MKN = 900 
	c. Các điểm E, F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất? Khi đó hãy tính diện tích của tam giác KMN theo a?
Câu 5: (1đ). Ba cầu thủ của một đội bóng đá trường Trung học Anois chuyện với nhau:
Nam: Tớ vừa nhận ra số áo của bọn mình đều là những số nguyên tố có hai chữ số.
Hải: Tổng hai số áo của các bạn là ngày sinh của tớ.
Thành: Tổng hai số áo của các cậu lại là ngày sinh của tở, sắp đến rồi.
Nam: Giờ tớ mới để ý là hai caauk cùng sinh trong một tháng và một điều thú vị nữa là tổng hai số áo của các cậu lại đúng bằng ngày hôm nay.Tìm số áo của mỗi ban?
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẨP HUYỆN
MÔN TOÁN LỚP 8. NĂM HỌC 2015-2016
Câu
Nội dung
Điểm
1
a
ĐKXĐ: x 
A = 
A = 
A = 
0.5
0.5
0.5
0.5
b
Để A nhận giá trị nguyên dương thì 2012 và 1-2x > 0 *
Mặt khác x là số tự nhiên nên 2x 0 **
Từ * và ** suy ra x = 0
Vậy với x = 0 thì A nhận giá trị nguyên.
0.5
0.5
0.5
0.5
2
a
x2 +3x +2 = (x +1)(x +2)
x2 + 5x +6 = (x+2)(x+3)
..................
x2 +17x +72 = (x+8)(x+9)
 ĐK: x 
Phương trình đã cho
x = 1 hoặc x = - 11
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 1 và x=-11
0.5
0.5
0.5
0.5
b
Ta có: y6 + x2 + 4x = 736 (x+2)2 = 740 - y6.
Vì (x+2)2 0 nên 740 - y 0 nên 740 y6.
 -3 
+ Với y = 3 Ta có (x+2)2 = 11 Vô nghiệm trên tập Z.
+ Với y = 2 Ta có (x+2)2 = 676 x = 24; x= -28.
+ Với y = 1 Ta có (x+2)2 = 639 vô nghiệm trên tập Z 
+ Với y = 0 Ta có (x+2)2 = 740 vô nghiệm trên tập Z
Vậy pt có 4 cặp nghiệm:(x;y) = (24;2); (24;-2);(-28;2);(-28;-2)
0.5
0.5
0.5
0.5
c
Biến đổi biểu thức đã cho về dạng: 
(a-b)2 + ( b- c)2 + ( c - a)2 = 0
 a = b = c 
Với a = b = c. Tính được: P =(a-b)2015 + (b-c)2015 + (c-a)2015 =0
1.0
0.5
0.5
3
a
Khi chia một số cho 2 được dư là 0 hoặc 1
Theo nguyên lí drichle ba số a, b, c chia cho 2 có ít nhất hai số có cùng số dư. Không làm mất tính tổng quát giả sử a và b có cùng số dư 
0.5
0.5
0.5
b
Ta có 4S = 4a + 4b + 4c + 
 = a + 2b + 3c + 
 4S 20 +2.6 + 2.6 + 2.4 = 52
Dấu “ =” sảy ra a= 2; b = 3; c = 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 13 khi a= 2; b = 3; c = 4
0.5
0.5
0.5
4
a
	K
	 A	B
 F
	E
 N D C M 
Từ gt AB // MN nên ta có: 
 CM.DN = AB2 = a2.
b
Theo chứng minh trên: 
Nên ( vì BA = CB)
Và ADN = MCB ( = 900)
 đồng dạng với 
 MBC = AND 
Mà MBC + BMC = 900
 AND + MBC = 900 
Vậy MKN = 900 
0.5
0.5
0.5
0.5
c
Vì MN = ND + CD + CM
Nên MN nhỏ nhất ND + CM nhỏ nhất (Vì DC không đổi)
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có: 
ND + CM 
Dấu “ =” sảy ra khi CM = DN = a
DF và CE lần lượt là đường trung bình của tam giác NBC và tam giác MAD. Hay E,F là trung điểm của BC và AD
Vậy MN đạt GTNN bằng 3a khi E,F là trung điểm của BC và AD.
Khí đó SKMN = SKAB + SNAD + SCBM + SABCD = SKAB + 2SABCD.
Lại vì tam giác KAB vuông cân tại K nên đường cao ứng với cạnh AB có độ dài bằng 
Và SABCD = a2.
Vậy SKMN = 
0.5
0.5
0.5
0.5
5
Số ngày lớn nhất trong một tháng là 31 và các số nguyên tố có hai chữ số 11; 13; 17 
Số tiếp theo là 19 nhưng vì 19 + 13 = 32 nên không thể có số > 17. 
Vậy ba số áo là 11; 13; 17 và ba tổng đôi một của chúng là 24; 28; 30.
Vì tất cả các ngày nói đến trong câu chuyện nằm trong cùng một tháng, nên ngày sinh của Thành là lớn nhất, tức bằng 30, ngày hôm nay là 28 và ngày sinh của Hải là 24.
Từ đó dễ dàng tìm được số áo của Nam là 13, của Hải là 17, của Thành là 11.
0.25
0.25
0.25
0.25