Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 - Đề 4

đề thi học sinh giỏi môn toán
Câu I:. Cho đường thẳng y = (m-2)x + 2 (d)
Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) bằng 1.
Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn nhất.
CâuII: Giải các phương trình: 
a) 
b) 
Câu III:
Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= với x, y, z là số dương và x + y + z= 1
Giải hệ phương trình: 
	c) B = 
Tìm điều kiện xác định của B
Rút gọn B
Tìm x để B<2
Câu IV: 
	Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, với AC < AB; AH là đường cao kẻ từ đỉnh A. Các tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại M. Đoạn MO cắt cạnh AB ở E. Đoạn MC cắt đường cao AH tại F. Kéo dài CA cho cắt đường thẳng BM ở D. Đường thẳng BF cắt đường thẳng AM ở N.
Chứng minh OM//CD và M là trung điểm của BD
Chứng minh EF // BC
Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN
Cho OM =BC = 4cm. Tính chu vi tam giác ABC.
Câu V: Cho (O;2cm) và đường thẳng d đi qua O. Dựng điểm A thuộc miền ngoài đường tròn sao cho các tiếp tuyến kẻ từ A với đường tròn cắt đường thẳng d tại B và C tạo thành tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
Đáp án 
Câu
Nội dung
Điểm
I (3đ)
y luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
 Xác định giao của (d) với Ox là A và Oy là B, ta có:
OA = 2: (|2 - m|); OB = 2
+OH là khoảng cách từ O đến AB. Do OH = 1. Thay vào tính
m = 2 - hoặc m = 2 + .
+ Các đường thẳng tương ứng y = x + 2 và y = -x + 2
OH đạt GTLN Û m2 - 4m + 5 đạt GTNN Û m = 2
+ Đường thẳng y = 2 và OH = 2
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
II (4đ)
a) Đưa về dạng: 2|x+1| + |x-3| = 6
+ Xác định ĐK của x: 
+ Với x < -1 có x = -
+ Với -1Ê x < 3 có x =1
+ Với x > 3 có x = TXĐ.
Kết luận : x = - và x =1 là nghiệm
b) ĐKXĐ: x³ 1
+ Đưa về dạng: 2x + 2
+ Pt : x + | 2 - x| = 2
+ Kết luận 1Ê xÊ 2 là nghiệm
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
III (6đ)
a) Dùng BĐT Cô si
 hay 2y
tương tự ; 
KL: A nhỏ nhất bằng 1 với x = y = z = 
b) áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau đưa về dạng:
Giải tìm hệ số tỉ lệ là 1
Tính đúng x = 6; y = 5; z = 4
c) 1. Tìm ĐKXĐ của B là x ạ0 và x ³ 2
2. Biến đổi và rút gọn có kết quả B = 2
3. B< 2 Û 2< 2 Û ( x - 1)2 < 2
Kết luận giá trị của x: 1- < x< 0 và 2Ê x < 1+ 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1
0.5
0.5
IV (5đ)
+ Vẽ hình đúng chính xác , đẹp và ghi GT , KL đúng chính xác
a) + OM // CD ( cùng vuông góc với AB)
+ Do O là trung điểm của BC và OM // CD ị M là trung điểm của BD
b) Do AH // DB ( cùng vuông góc với BC)
 theo (a) MD = MB, theo định lí Ta lét 
AF = FH hay F là trung điểm của AH.
+ Chỉ ra E là trung điểm của AB. ị EF là đường trung bình của tam giác AHB hay EF// BC
c) Gọi giao điểm của NH với đường thẳng BM là P. Do AH//MP và F là trung điểm của AH . Chỉ ra B là trung điểm của MP.
+ Tam giác HMD cân tại đỉnh H ( do HB vừa là trung tuyến, vừa là đường cao ị HB là phân giác góc MHD
+ Vì HA vuông góc với HB nên suy ra AH là tia phân giác của góc MHN
d) + Chứng minh được DABC = D BMO ( c.h- g.n)
có OB = 2cm; OM = 4cm
+ Tính được BM = 2 ( cm)
 BC = 4cm; AC = BO = 2cm tính AB = 2
+ Tính được chu vi DABC bằng ( 6 + 2) cm
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
V (2đ)
+ Vẽ hình đúng, chính xác , đẹp sạch
+ Diện tích DABC là S, viết được S = 
+ Tính được S ³ 8
+ Do Smin = 8 ị AB = AC, AC = CI.
Vậy tam giác ABC phải vuông cân tại A.
Từ đó có cách dựng điểm A.
0.5
0. 5
0. 5
0.5