Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 - Đề 3

Đề thi Học sinh giỏi môn toán 9
Câu 1: (2 điểm)
Cho biểu thức sau:
1. Rút gọn P.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
3. Tìm x để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.
Câu 2: (2 điểm)
Cho đường thẳng (d) có phương trình: .
1. Vẽ (d) với m = 3.
2. Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
3. Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.
Câu 3: (2,5 điểm)
1. Giải phương trình nghiệm nguyên:
2. Cho a, b là các số thực dương thoả mãn: a + b = 4.
Chứng minh rằng: .
Câu 4: (2,5 điểm)
Cho hình thang vuông ABCD , tia phân giác của góc C đi qua trung điểm I của AD.
1. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I, IA).
2. Cho AD = 2a. Tính tích AB và CD theo a.
3. Gọi H là tiếp điểm của BC với đường tròn (I) nói trên. K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng KH song song với BC.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực khác không x, y, z ta luôn có:
.
Hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi
Môn: Toán 9
Câu
ý
Điểm
1
1
Điều kiện: 
0,25
0,25
0,25
2
 với mọi x thoả mãn điều kiện xác định
0,25
0,25
3
Với vì Q nguyên
Kết luận: với thì 
0,25
0,25
0,25
2
1
Với m = 3: phương trình đường thẳng (d) trở thành: 
Ta có: x = 0; y = 2
y = 0; x = - 	2
 0 1
0,25
0,25
2
Gọi điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua là M(x0,y0) 
Ta có: với mọi m
Kết luận: Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định M(1; -2)
0,25
0,25
3
Từ phương trình của (d) không đi qua gốc toạ độ. Gọi giao của (d) với Ox là , với trục tung là 
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O lên AB. Ta có:
Vậy max OH 
0,25
0,25
0,5
3
1
Vì và và 
Là các ước của -3 sao cho tích của chúng bằng -3
Ta có các trường hợp:
TH1: 
TH2: 
TH3: 
TH4: 
Kêt luận: Tập nghiệm của phương trình:
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Với áp dụng BĐT Cauchy ta có:
đpcm.
Dấu “=” a = b = 2
0,25
0,25
0,25
4
1
Kẻ IH vuông góc BC. Vì I nằm trên tia phân giác của góc nên 
 là tiếp tuyến của (I,IA)
vẽ hình đúng (0,25)
0,75
2
BA vuông góc IA và CD vuông góc với IB suy ra BA, CD lần lượt là các tiếp tuyến của (I) tại A và B
- Xét (I, IA), có BA, BH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại B; CD, CH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C. Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
 (1)
(2)
Ta có: 
vuông tại C.
- Xét vuông tại C, đường cao IH, ta có:
0,25
0,5
0,25
3
Vì AB//CD, theo định lý Talet ta có: hay (theo (2)).
Theo định lý talet đảo: 
0,25
0,25
5
Với a, b, c là 2 cạnh của 1 tam giác nhọn, ta có:
Với mọi . Ta luôn có: (1)
Thật vậy: (1) 
(luôn đúng với mọi a, b, x, y)
Suy ra (1) luôn đúng.
Ta có: (2)
Làm tương tự ta có:
 (3)
Từ (2) và (3) (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25