Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 - Đề 2

Đề THI CHọN HSG môn Toán 9
 Bài1(4đ) 
 a/ Tính 
 b/ Cho a +b +c = 0 , a,b,c ≠ 0. Chứng tỏ rằng 
 = 
 c/ Hãy chứng tỏ là nghiệm của phương trình x3 +3x – 4 = 0
 Bài2(4đ) 
 a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức 
	Với x = 
b/ Giải phương trình 
 Bài3(5đ) 
 a/ Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) 
 Viết phương trình đường thẳng đi qua A, C . Xác định a để đường thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C 
 Câu 4:(2đ)
	Cho hình chữ nhật ABCD,AB= 2BC.Trên cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đường thẳng CD ở F.Chứng minh rằng :
Câu 5 (5đ) : Cho tam giác ABC vuông ở A ,đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC . Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm)
a, Tính độ dài đoạn DE
b, Chứng minh rằng AD . AB = AE.AC
c, Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N . Chứng minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH .
d, Tính diện tích tứ giác DENM 
Đáp án thang điểm
Bài 1: 
 a/ = = 
 = | | - | | = = 
 b) CM = 
 Ta có = 
 Mà a +b +c = 0 , a,b,c #0. => = 0 
 Vậy = = 
 c) Hãy chứng tỏ là nghiệm của phương trình x3 +3x – 4 = 0
 Tacó : x3 = 
 = 4 – 3 = 4 - 
 = 4 – 3x
 * x3 = 4 – 3x x3 + 3x + 4 = 0 
 Vậy là nghiệm của PT x3 + 3x + 4 = 0 
Bài2(4đ) 
 a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức 
	Với x = 
 Giải : ĐK : x > 0 , y > 0 
= 
= :
= : 
= : = 
 Khi x = thì A = 
	=> A2 = 4 – 2 = 2 Do A A = -
 b/ Giải phương trình (1)
 ĐK: x 7 
=> 
 2x + 2 + 2( ) = 16 
 2( ) = 16 – 2( x + 1)
 = 8 – (x + 1) (2)
 Nếu 8 – ( x+ 1) x + 1 > 8 x > 7 thì (2) Vô nghiệm => (1) Vô nghiệm
 Nếu 8 – ( x+ 1) 0 x + 1 8 x 7 
 Kết hợp với ĐK đầu bài => x = 7 . Thử x = 7 vào pt(2) ta có 0 = 0
 Vậy x = 7 là nghiệm của pt (2) là nghiệm của PT (1) 
Bài3(5đ) 
Ta có B = 
 GTLN B = 3 khi và chỉ khi x = -1
 B = 
 GTNN B = khi và chỉ khi x = 1
 b)	y
 4 
A
 O	 C	x
	3
 Đường thẳng đi qua hai điểm A( 0 ;4) và C( 3; 0) có dạng y = ax + b 
 A(0;4) đường thẳng y = ax + b 4 = a.0 + b b = 4 
 B(3;0) đường thẳng y = ax + b 0 = a.3 + b 3a + 4 = 0 a = 
 Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A và C là : y = x + 4 
 Đường thẳng y = ax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cạnh BC của hcn OABC tại M(3; y0) (y0 > 0) sao cho chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C nghĩa là SOMC = SOABC
 (1)
 Mà OC = |3| = 3 , CM = | y0| = y0 ( do y0 > 0), OA = | 4| = 4 , OC = | 3| = 3
 Từ (1) tacó .3.y0 = . 4. 3 y0 = 
 Vậy đường thẳng y =ax đi qua M(3; ) = a.3 a = 
 Câu 4(2đ)
F
E
K
D
C
B
A
Kẻ AK^AF 	 (0,5đ)
	~ (g.g) (0,75đ)
Suy ra 	 (0,25đ)
Hay 	 (0,5đ)
Áp dụng hệ thức lượng đối với tam giác vuông AKF,ta có :
	(0,5đ)
	Suy ra 	
	Hay 	(0,5đ)
Câu 5: (5đ)
Vẽ hình đúng ghi giả thiết và kết luận sạch đẹp (0,5đ)
a.(1đ) Tính đúng DE = 6 (cm)	(1đ)
b.(1đ) Chứng minh đúng hệ thức dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông (1đ).
c. (2đ) Gọi I là giao điểm của AH và DE thì:
	ID = IE = IA = IH	(0,5đ)
ị D MID = D MIH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)	(0,5đ)
ị MD = MH ị D MDH cân tại M ị MDH = MHD
ị MDB = MBD	(0,5đ)
ị D MBD cân ở M ta có MD = MB.
ị MB = MH (= MD) vậy M là trung điểm của BH.
Chứng ming.thì N là trung điểm của HC (0,5đ)
d. (0,5đ) Từ câu c suy ra:
 DM = BH = . 4 = 2(cm)
 EN = HC = . 9 = 4,5(cm)	(0,25đ)
ị S DENM = (DM + EN) DE = (2 + 4,5) . 6 = 19,5 (cm2)	(0,25đ)