PHÒNG GD&ĐT CẨM THỦY ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP H UYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 15 tháng 4 năm 2014 Câu 1 ( 5,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P b) Tìm x để c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1 Câu 2 ( 6 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 22, f(x) chia cho được thương là và còn dư Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì chia hết cho 6. Giải phương trình nghiệm nguyên: Câu 3 (3,0 điểm) a) Cho và , tính giá trị của biểu thức: Cho 2 số a và b thỏa mãn a1; b1. Chứng minh : Câu 4 : (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. Chứng minh : ∆OEM vuông cân. Chứng minh : ME // BN. Từ C kẻ CH BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng. ------------------HẾT----------------- Họ và tên thí sinh:SBD: ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ) HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Môn thi: Toán 8 Năm học: 2013 – 2014 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Ý Đáp án Điểm Câu 1( 5 điểm) 1( 4 điểm) a 2 đ ĐKXĐ : Không có đk x-1 trừ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b 2 đ với ĐKXĐ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ( TM ĐKXĐ) Hoặc x = - 1 ( không TM ĐKXĐ) (Nếu không loại x = - 1 trừ 0,25 điểm ) 0,5đ Vậy 0,25đ c 1 đ 0,25đ 0,25đ Vì x > 1 nên và > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương x – 1 và ta có: 0,25đ Dấu “ = “ xẩy ra khi x – 1 = ( x – 1)2 = 1 x – 1 = 1 ( vì x – 1 > 0 ) x = 2 ( TM ) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2 0,25đ Câu 2( 6 điểm) a 2 đ Giả sử f(x) chia cho được thương là và còn dư là . Khi đó: 0.5đ Theo đề bài, ta có: 0.5đ Do đó: 0.5đ Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 0.5đ b 2 đ a3 + 5 a = a3 – a + 6a 0,5đ = a(a2 – 1) + 6a 0,25đ = (a-1)a(a+1)+ 6a 0,25đ * (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 2 suy ra chia hết cho 2 0,25đ * (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 3 suy ra chia hết cho 3 0,25đ Vì (2;3) = 1 nên (a-1)a(a+1) chia hết cho 6 0,25đ * 6a chia hết cho 6 Vậy a3 + 5 a chia hết cho 6 0,25đ c 2đ 0,5đ 1,0đ 0,25đ 0,25đ Câu 3(3,0 điểm) CC a 0,5đ 0,5đ 0,5đ b = 0,25đ = 0,25đ = = 0,25đ = 0,5đ Do a1; b1 nên 0,25 Câu 4( 6 điểm) Hình vẽ 0,5đ a 3 đ Xét ∆OEB và ∆OMC 0,25đ Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC 0,5đ Và 0,5đ BE = CM ( gt ) 0,25đ Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c) 0,25đ OE = OM và 0,5đ Lại có vì tứ giác ABCD là hình vuông 0,25đ kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O 0,5đ b 2đ Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD 0,5đ + AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lét) (*) 0,5đ Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*) 0,5đ Ta có : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét) 0,5đ c 1đ Gọi H’ là giao điểm của OM và BN Từ ME // BN ( cặp góc so le trong) Mà vì ∆OEM vuông cân tại O ∆OMC ∆BMH’ (g.g) 0,25đ ,kết hợp ( hai góc đối đỉnh) 0,25đ ∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) 0,25đ Vậy Mà CH BN ( H BN) H H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm) 0,25đ Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa
Tài liệu đính kèm: