Đề thi học kỳ II môn Toán Lớp 11 - Năm học 2016-2017 - Nguyễn Đại Bình

THPT PHƯỚC LONG
GV: Nguyễn Đại Bình
————-
ĐỀ THI HỌC KÌ II
NĂMHỌC 2016-2017
——oOo——-
Môn thi: TOÁN 11
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (1 điểm)
a) Tính giới hạn lim
x→−∞
2x5 + 3x+ 1
4x5 + 5x4 + 3
b) Chứng minh rằng phương trình
(
m2 −m+ 1) x4+ 2x− 2 = 0 luôn có nghiệm với mọi
giá trị của tham số m
Câu 2. (1.5 điểm) Xét tính liên tục của hàm số f (x) =

4− x2√
x− 2− 2 khi x > 2
2x− 20 khi x ≤ 2
tại điểm x0 = 2
Câu 3. (1.5 điểm) Tính đạo hàm các hàm số:
a) y = 2x4 − 5x3 + 2x− 1
b) y =
x2 + 2x+ 6
x+ 1
c) y = (x+ 3)
√
1− x2
Câu 4. (3 điểm) Cho hàm số y =
x− 1
x− 2 có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (3; 2)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc bằng−1
4
c) Gọi N (x0; y0) là một điểm tùy ý trên đồ thị (C) và (d) là tiếp tuyến của (C) tại N. Hỏi
(d) có đi qua giao điểm của hai đường thẳng ∆1 : x = 2 và ∆2 : y = 1 hay không?. Giả sử (d)
cắt ∆1 tại A, cắt ∆2 tại B, chứng minh N là trung điểm của đoạn thẳng AB
Câu 5. (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a
√
3. Tam
giác SAC vuông tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Biết SC
tạo với đáy một góc 450. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAB
a) Chứng minh SA⊥ (ABCD) và tính SA
b) Chứng minh BC⊥ (SAB) , (ADH)⊥ (SBC)
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến (ADH)
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
THPT PHƯỚC LONG
GV: Nguyễn Đại Bình
———————–
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC KÌ II, NĂMHỌC 2016-2017
Môn thi: TOÁN 11
Lời giải 1. [1 điểm]
= lim
x→−∞
2+
3
x4
+
1
x5
4+
5
x
+
3
x5
0.25
=
1
2
0.25
Xét hàm số f (x) =
(
m2 −m+ 1) x4 + 2x− 2 liên tục trên R
Có f (0) . f (1) = −2 (m2 −m+ 1) < 0, ∀m ∈ R 0.25
Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) 0.25
Lời giải 2. [1.5 điểm]
f (2) = −16 0.25
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
(2x− 20) = −16 0.25
lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
4−x2√
x−2−2 = limx→2+
(2−x)(2+x)(
√
x−2+2)
x−2 0.25
= lim
x→2+
(2+ x)
(√
x− 2+ 2) = −16 0.25
f (2) = lim
x→2−
f (x) = lim
x→2+
f (x) 0.25
⇒ Hàm số liên tục tại x0 = 2 0.25
Lời giải 3. [1.5 điểm]
y′ = 8x3 − 15x2 + 2 0.5
y′ =
x2 + 2x− 4
(x+ 1)2
0.5
y′ =
√
1− x2 − (x+ 3) x√
1− x2 =
1− 3x− 2x2√
1− x2 0.5
Lời giải 4. [3 điểm]
Hình 1
y′ =
−1
(x− 2)2
Hệ số góc của tiếp tuyến: k = y′ (3) = −1
0.25
Phương trình tiếp tuyến: y = −x+ 5 0.25
Tiếp điểm N (x0; y0)
Hệ số góc của tiếp tuyến: k = y′ (x0) = −14
0.25
2
−1
4
=
−1
(x0 − 2)2
0.25
⇔
 x0 = 0⇒ N1
(
0;
1
2
)
x0 = 4⇒ N2
(
4;
3
2
) 0.5
Tại tiếp điểm N1
(
0;
1
2
)
có phương trình tiếp tuyến: y = −1
4
+
1
2
0.25
Tại tiếp điểm N2
(
4;
3
2
)
có phương trình tiếp tuyến: y = −1
4
+
5
2
0.25
Tiếp điểm N (x0; y0) với y0 =
x0 − 1
x0 − 2; x0 6= 0
Hệ số góc của tiếp tuyến: k = y′ (x0) =
−1
(x0 − 2)2
Phương trình tiếp tuyến (d): y = − 1
(x0 − 2)2
(x− x0) + x0 − 1x0 − 2
0.25
∆1 cắt ∆2 tại E (2; 1)
Giả sử E ∈ (d)
1 = − 1
(x0 − 2)2
(x− x0) + x0 − 1x0 − 2 ⇔ x0 − 2 = 1+ x0 − 1 (vô lý)
Vậy (d) không qua E
0.25
(d) cắt ∆1 tại A
(
2;
x0
x0 − 2
)
và cắt ∆2 tại B (2x0 − 2; 1) 0.25
Gọi I là trung điểm đoạn AB⇒
(
x0;
x0 − 1
x0 − 2
)
⇒ I ≡ N 0.25
Lời giải 5. [3 điểm]
Hình 2
(SAC)⊥ (ABCD)
(SAC) ∩ (ABCD) = AC
SA⊥AC
⇒ SA⊥ (ABCD)
0.5
AC là hình chiếu của SC lên (ABCD)
⇒
[
̂SC, (ABCD)
]
= ŜCA = 450
0.25
Tam giác SAC vuông tại A nên:
SA = AC. tan ŜCA =
√
AB2 + AD2 tan 450 = 2a
0.25
Ta có:
BC⊥AB (ABCD là hình chữ nhật)
BC⊥SA (SA⊥ (ABCD))
⇒ BC⊥ (SAB)
0.5
{
AH⊥SB
AH⊥BC (BC⊥ (SAB) , AH ⊂ (SAB)) ⇒ AH⊥ (SBC) 0.25
Mà AH ⊂ (ADH)⇒ (ADH)⊥ (SBC) 0.25
Ta có: BC ‖ AD (ABCD là hình chữ nhật) và BC 6⊂ (ADH)
Vậy d [C, (ADH)] = d [B, (ADH)]
0.25
3
Vì
{
AD⊥SB
AD⊥SA ⇒ AD⊥SB 0.25{
AH⊥SB
AD⊥SB ⇒ SB⊥ (ADH) tại H
⇒ [B, (ADH)] = BH
0.25
AH =
SA.AB√
SA2 + AB2
=
2a√
5
0.25
BH =
√
AB2 − AH2 = a
√
5
5
0.25
4
 Hình 1 
Hình 2 
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
1 2 3 4 5 6
Δ2
Δ1
B
A
I
N
450
S
D
C
B
A
H