Đề thi học kì II môn Toán học 9

ĐỀ SỐ 1: QUẬN 1, NĂM 2014-2015
Bài 1: 	(3 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
	b) 
c) 	d) 
Bài 2: 	(2 điểm) Cho phương trình: 	(x là ẩn)
Định m để phương trình có hai nghiệm . Tính và theo m
Định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 
Bài 3: 	(1,5 điểm) 
Vẽ đồ thị (P) của hàm số 
Bằng phép tính tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng 
Bài 4: 	(3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Các tiếp tuyến tại B, tại C của đường tròn (O) cắt nhau tại M
Chứng minh rằng tứ giác OBMC nội tiếp đường tròn và xác định tâm K của đường tròn này
Gọi D là giao điểm của MA và đường tròn (O) (D khác A), H là giao điểm của OM và BC. Chứng minh rằng MB2 = MD.MA
Chứng minh rằng tứ giác OADH nội tiếp và 
Chứng minh rằng: 
BÀI GIẢI
Bài 1: 	(3 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
 (1) 	
Giải: 
	Do nên phương trình (1) vô nghiệm 
	Vậy phương trình (1) vô nghiệm 
 (2)
Giải:
	Ta có nên phương trình (2) có hai nghiệm: 
	Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là 
 (3)
Giải:
Đặt 
	Phương trình (3) trở thành: (*) 
	Do ∆’ > 0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:
	 (nhận); (loại) 
	Với thì 
	Vậy phương trình (3) có tập nghiệm là 
 (4)
Giải:
	Vậy hệ phương trình (4) có nghiệm là 
Bài 2: 	(2 điểm) Cho phương trình: 	(x là ẩn)
Định m để phương trình có hai nghiệm . Tính và theo m
Giải:
	Ta có 
	Để phương trình có hai nghiệm x1, x2 
	Vậy phương trình có nghiệm x1, x2 khi 
	Với phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét: 
Định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 
Giải:
	Ta có 	
	Thay x2 = 3 vào S và P ta được: 
	 (thỏa) 
	Vậy là giá trị cần tìm 
Bài 3: 	(1,5 điểm) 
Vẽ đồ thị (P) của hàm số 
Giải:
Bảng giá trị
x
0
2
4
0
Vẽ đồ thị
Bằng phép tính tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng 
Giải:
	Ta có hay 
	Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
	Ta có 
	Do nên phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt: 
	Với , ta có 
	Với , ta có 
	Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là 
Bài 4: 	(3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Các tiếp tuyến tại B, tại C của đường tròn (O) cắt nhau tại M
Chứng minh rằng tứ giác OBMC nội tiếp đường tròn và xác định tâm K của đường tròn này
Giải:
	Ta có (tính chất tiếp tuyến)
	 B thuộc đường tròn đường kính MO (1)
	Ta có (tính chất tiếp tuyến) 
	 C thuộc đường tròn đường kính MO (2)
	Từ (1) và (2) 4 điểm O, B, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính MO
	Vậy tứ giác OBMC nội tiếp đường tròn đường kính MO và tâm K là trung điểm của MO 
Gọi D là giao điểm của MA và đường tròn (O) (D khác A), H là giao điểm của OM và BC. Chứng minh rằng MB2 = MD.MA
Giải:
	Xét ∆MBD và ∆MAB có: 
	: chung
	 (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) 
	 ∆MBD ∽ ∆MAB (g.g) 
Chứng minh rằng tứ giác OADH nội tiếp và 
Giải:
	Ta có 	MB = MC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
	OB = OC = R 
	 MO là đường trung trực của đoạn thẳng BC 
	 MO BC tại H (với H là trung điểm của BC)
	 Ta có ∆MBO vuông tại B và có BH là đường cao 
	 MB2 = MH.MO (hệ thức lượng) 
	Và MB2 = MD.MA (do trên)
	 MH.MO = MD.MA 
	Xét ∆MHD và ∆MAO có: 
	: chung
	 (vì MH.MO = MD.MA)
	 ∆MHD ∽ ∆MAO (c.g.c) 
	 (3) (2 góc tương ứng) 
	Xét tứ giác OADH có: (do trên)
	 Tứ giác OADH nội tiếp (góc trong bằng góc đối ngoài) 
	 (4) (cùng chắn cung OA) 
	Vì OA = OD = R nên ∆OAD cân tại O 
	 (5) 
	Từ (3), (4) và (5) 
	Hay 	 
Chứng minh rằng: 
Giải:
	Ta có 	 (tổng 3 góc trong ∆ACH)
	 (vì và là 2 góc kề bù)
	 (vì và là 2 góc phụ nhau)
	 (vì ) 
	 (vì ) 
	 (cùng chắn cung AD của tứ giác OADH nội tiếp) 
	 (hệ quả góc nội tiếp) 
	 (cùng chắn cung BD)
	Vậy