Đề thi giáo viên giỏi cấp trường môn Toán - Năm học 2015-2016 - Trường THCS Sơn Tây (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT HƯƠNG SƠN
TRƯỜNG THCS SƠN TÂY
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
1) Tính A = 
2) Cho các số tự nhiên a, b; thỏa mãn: a2 + b2 chia hết cho 3. Chứng minh rằng: tích ab chia hết cho 9.
Câu 2: 
1) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: . Hãy tính giá trị của biểu thức .
2) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
Câu 3 : Cho biểu thức 
Rút gọn P;
Tìm giá trị của P với và .
Câu 4: a) Giải hệ phương trình 	 
 b) Giải phương trình 
Câu 5: Cho tam giác ABC đều có AH là đường cao, N là điểm bất kì trên cạnh BC
 (N khác B, C). Từ N vẽ NE vuông góc AB, NF vuông góc AC (E thuộc AB, F thuộc AC).
a) Chứng minh: A, E, N, H, F cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi O là trung điểm của AN. Chứng minh các tam giác OEH và OFH là tam giác đều, từ đó suy ra .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn EF khi N chạy trên cạnh BC, biết độ dài cạnh của tam giác ABC là a.
HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI TRƯỜNG
NĂM HỌC : 2015 – 2016
Bài
Đáp án tóm tắt
Thang điểm 
1
4,0 đ
1., A = 
 = 
 = = = 
2. Đặt a = 3k+ r (r = 0; 1; 2); a2 = 9k2+6k + r2 
 suy ra a2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1.
 tương tự b2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1.
Nếu a không chia hết cho 3, suy ra a2 chia cho 3 dư 1. Do a2 + b2 chia hết cho 3 suy ra b2 chia cho 3 dư 2 (loại).
Vậy a chia hết cho 3, từ a2+b2 chia hết cho 3 suy ra b chia hết cho 3; nên ab chia hết cho 9 (đpcm) 
2,0 đ
2,0 đ
2
5,0 đ
+)Nếu a+b+c 0
 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:
= = 1
mà = 2 => =2
Vậy B == 8.
+)Nếu a+b+c = 0
 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:
= = 0
mà = 1=> =1
Vậy B ==1
2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0)
Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: 
 a, b, c
Ta có: 	(1)
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là : a’, b’, c’, ta có:
	(2)
So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu. Vậy : c’ – c = 4 hay 
Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.
2,5 đ
2,5 đ
3
3,0 đ
a) ĐKXĐ: ; Rút gọn ta được : 
b) ; 
Với x = 0 (loại)
Thay x = 1; y = ta được P = 3;
Thay x = 1; y = thì 
1,5 đ
1,5 đ
4
4,0 đ
Giải:	a) ĐKXĐ: x, y ¹ 0. 
Hệ phương trình tương đương
 (TMĐK)
Vậy nghiệm của hệ phương trình 
b) Phương trình tương đương
pt xảy ra : 3x – 2 = 0 hoặc 
3x – 2 = 0 Û x = 
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = 
2,0 đ
2,0 đ
5
4,0 đ
a) Ta có: ,, 
 Nên: E, H, F cùng nhìn đoạn AN dưới một góc vuông .
Vậy A, E, N, H, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AN
 b) Xét đường tròn đường kính AN, tâm O.
Ta có OE = OH = OF nên cân tại O
 và 
Suy ra đều 
Do đó tứ giác OEHF là hình thoi 
A
B
C
H
N
E
F
O
I
c) Gọi I là giao điểm của OH và EF.
 ( OA = 1/ 2 AN) 
Mà ( Đường xiên và hình chiếu ) 
Vậy giá trị nhỏ nhất EF là : khi N trùng H.
1,0 đ
2,0 đ
1,0 đ