Đề thi giao lưu học sinh giỏi năm học 2016 - 2017 môn Toán 6

Phßng GD&§T HUYỆN NGA SƠN
CỤM CHUYÊN MÔN
THANH – THUỶ - BẠCH – TÂN
---------------------
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN TOÁN 6
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 24 tháng 11 năm 2016
Bài 1: (3điểm) Tính bằng cách hợp lý nhất:
a. 2.31.12 + 4.6.42 + 8.27.3
b. (68.8686 – 6868.86).(1+2+3+ + 2016)
Bài 2: (3điểm) So sánh
a. 
b. 6315 và 3418
Bài 3: (4điểm)
a. Cho A = 21 + 22 + 23 +  + 230. Chứng minh rằng: A chia hết cho 21.
b. Tìm các chữ số a, b sao cho số 
Bài 4: (3 điểm) Khối 6 của một trường có chưa tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10; 12; 15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì không dư. Tính số học sinh khối 6.
Bài 5: (6 điểm)
a. Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC.
b. Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng.
Bài 6: (1điểm) Tìm các số tự nhiên n có hai chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.
-------------------Hết------------------
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Nội dung
Điểm
1a
(1,5đ)
 2.31.12 + 4.6.42 + 8.27.3
=(2.12).31 + (4.6).42 + (8.3).27
= 24.31 + 24.42 + 24.27
= 24.(31 + 42 + 27)
=24. 100
= 2400
0,5
0,25
0,25
0.25
0.25
1b
(1,5đ)
(68.8686 – 6868.86).(1+2+3+ + 2016)
= (68.86.111 – 68.111.86).(1+2+3+ + 2016)
= 0. (1+2+3+ + 2016) = 0
1
0.5
2a
(1,5đ)
Ta có 2711 = (33)11 = 333
 818 = (34)8 = 332
 Vì 333>332 nên 2711 > 818
Vậy 2711 > 818
0.25
0.25
0.75
0.25
2b
(1,5đ)
Ta có 6315 < 6415 =(26)15 = 290
	3418 > 3218 = (25)18 =290	
=> 6315 < 3418
Vậy 6315 < 3418	
0.5
0.5
0.25
0.25
3a
(2đ)
A = 21 + 22 + 23 +  + 230
Ta có: A = 21 + 22 + 23+  + 230 
 = (21 + 22) + (23 + 24) +  (229 + 230)
 = 2.(1+2) + 23.(1+2) +  + 229.(1+2)
 = 3.( 2 + 23 ++ 229) suy ra A 3 (1) 
 Ta có: A = 21 + 22 + 23+  + 230 
 = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) +  (228 +229 + 230)
 = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) +  + 228.(1+2+22)
 = 7 (2 + 24 +  + 228) suy ra A 7 (2)
 Mà (3,7) = 1. Kết hợp (1) và (2) => A 3.7 hay A 21 
0,75
0,5
0,75
3b
(2đ)
Ta có 45 = 5.9 và (5,9)=1
 và 
Vì b= 0 hoặc b = 5
* TH1: b = 0 a+119
Mà 1a9 12a + 11 20a + 11 = 18 a = 7
* TH2: b = 5 a+169
Mà 1a9 17a + 11 25a + 16 = 18 a = 2
Vậy a=7 và b= 0; a= 2 và b = 5.
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
4
(3đ)
Gọi số học sinh khối 6 là a học sinh ( 3<a < 400) (aN) 
Ta có: a-310; a-312; a- 315a-3BC(10;12;15)
Lại có: BCNN(10,12,15)= 60
=> BC(10;12;15)= B(60) = {0;60;120;180;240;300;360;420;}
Vì 3< a <400 nên 0< a-3 < 397
=> a-3{60;120;180;240;300;360}
a-3
60
120
180
240
300
360
a
63
123
183
243
303
363
Vì a11 => a=363
Vậy khối 6 có 363 học sinh.
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0.25
5a
(4đ)
Xét hai trường hợp :
*TH 1: C thuộc tia đối của tia BA.
●	 ● ●
A	 B C
Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau B nằm giữa A và C
 AC = AB + BC = 12 cm.
Vậy AC = 12 cm.
*TH 2 : C thuộc tia BA.
● ● ●
A C B
C nằm giữa A và B (Vì BA > BC) AC + BC = AB 
 AC = AB - BC = 4 cm.
Vậy AC = 4 cm.
2
2
5b
(2đ)
- Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm.
- Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao điểm.
- Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là :
10100 : 2 = 5050 giao điểm.
Vậy số giao điểm là: 5050 giao điểm.
0.75
0.75
0.25
0.25
6
(1đ)
Ta có 10n99 nên 212n+1199. 
Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được: 
2n + 1 
25
49
81
121
169
n
12
24
40
60
84
3n +1 
37
73
121
181
253
Chỉ có 121 là số chính phương.
Vậy n = 40.
0.25
0.5
0.25