Đề thi giao lưu học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

ĐỀ THI HS GIỎI TRƯỜNG – TOÁN 8
Bài 1 (1,0 điểm) Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:
	a) x2 – x – 12; 	b) x2 + 2xy + 4y – 4; 	
Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: P =
Tỡm x để P xỏc định ; b, Rỳt gọn P.
c, Tỡm giỏ trị nguyờn của x để P nhận giỏ trị nguyờn?
Bài 3: (2,0 điểm)
a, Chứng minh rằng tổng của ba số nguyờn chia hết cho 6 thỡ tổng của lập phương ba số nguyờn cũng chia hết cho 6
b, Chứng minh bất đẳng thức: . Với là cỏc số dương.
áp dụng : Tìm giá trị nhỏ nhất của . với dương và .
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho tam giỏc ABC cõn ở A, D là trung điểm của cạnh BC. Trờn cạnh AB lấy điểm M, trờn cạnh AC lấy điểm N sao cho : MDN = ABC. Chứng minh :
a, Hai tam giỏc BMD và CDN đồng dạng với nhau ; b, MD2 = MN . MB
Bài 5:(1,5 điểm)
Cho tam giỏc ABC trung tuyến AD. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc. Một đường thẳng qua G cắt cỏc cạnh AB, AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng: 	
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
đáp án toán 8:
Bài 1: a, x2 - x - 12 = (x-4)(x+3) 	(1điểm)
b, x2 + 2xy + 4y - 4 = (x-2)(x+2) + 2y(x+2) = (x+2)(x+2y-2)	(1điểm)
Bài 2: a, Điều kiện: x 	(1điểm)
b, P = 	(1điểm)
	(0,5điểm)
	(0,5điểm)
c, P = 	(1điểm)
Với x nguyên thì P nhận giá trị nguyên khi x-1 là ước của 1:	(0,5điểm)
TH1: x-1 = 1 => x = 2 (thõa mãn đk)
TH2: x - 1 = -1 => x = 0 (thõa mãn đk)	
Bài 3: (2,0 điểm)
a, Chứng minh rằng tổng của ba số nguyờn chia hết cho 6 thỡ tổng của lập phương ba số nguyờn cũng chia hết cho 6
	(0,5điểm)
Bài 3: a, Giả sử a+b+c chia hết cho 6
Ta có: a3 + b3 + c3 = (a+b+c)3- 3 (a+b)(b+c)(c+a)	(1điểm)
Ta chứng minh được (a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 2
Thực vậy: Nếu trong tích (a+b)(b+c)(c+a) có ít nhất một thừa số chia hết cho 2 thì tích đó chia hết cho 2
Nếu cả ba thừa số đều không chia hết cho 2. ta có: a+b = 2k + 1; b+c = 2q+1
=> 2b + a+c = 2k +2q= 2k+ +2 = 2(k+q+1) = 2l. Chứng tỏ a+c chia hết cho 2. Khi đó tích sẻ chia hết cho 2.	(1điểm)
 Vì (a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 2 nên:
 3(a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 6
 Mà (a+b+c)3 cũng chia hết cho 6 (vì a+b+c chia hết cho 6 )
Do đó (a+b+c)3- 3 (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho 6 
Hay: a3 + b3 + c3 chia hết cho 6	(1điểm)
b, Ta có : vì a > 0; b > 0	(0,5điểm)
=> Dấu = xảy ra khi a – b = 0 a = b	(0,5điểm)
áp dụng: M = 	 (0,25điểm)
Vì: ; 	 (0,25điểm)
Và: ( do x>0; y>0) 	
; 	 (0,25điểm)
Nên: M và M có giá trị nhỏ nhất là 14 khi x = y	 (0,25điểm)
Bài 4:
a, Ta có:ABC +BMD=MDC ( Tính chất góc ngoài) (0,5 điểm)
Hay: ABC +BMD = MDN+NDC
Mà ABC=MDN(gt)
=> BMD = NDC	(1điểm)
Xét hai tam giác BMD và tam giác CDN có:
B = C ( tam giác ABC cân); BMD = NDC
=>~ ( g – g )	(0,5 điểm)
b, Ta có ~ (Vì BD = CD) (1điểm)
Xét hai tam giác: và có: MBD = MDN (gt)
 ( chứng minh trên)
 ~ (c-g-c) 	(1điểm)
	(1điểm)
Bài 5: - Qua B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AD ở P
Vì BP song song với MG nên ta có: (1) (0,5điểm)
- Qua C kẻ đường thẳng song song với MN cắt AD ở Q
Vì CQ song song với NG nên ta có: (2)	(0,5 điểm)
Từ (1) và (2) ta có: (3)	(0,5điểm)
Mặt khác: Xét hai tam giác DPB và DQC có:
BDP =CDQ (đối đỉnh)
DBP = DCQ ( Vì BP Và CQ cùng song song với MN nên song song với nhau)
DB = DC (AD là trung tuyến)
=> DPB = DQC ( c-g-c) => DP = DQ	(0,5điểm)
=> AP +AQ=AD-DP+AD+DQ=2AD (4)	(0,5điểm)
Từ (3) Và (4) ta có: 
=> ( Vì G là trọng tâm nên )	(0,5điểm)
Lưu ý: - Các cách giải khác có kết quả đúng đều cho điểm tối đa 
	- Bài4, bài 5: Vẽ hình sai hoặc không có hình thì không chấm