Đề thi chọn HSG toán lớp 9 huyện Tam Dương vòng 1 năm học: 2011-2012 môn: Toán

UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHềNG GD&ĐT
Kè THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 9 VềNG 1
Năm học: 2011-2012
Mụn: Toỏn.
Thời gian làm bài: 150 phỳt 
Đề thi này gồm 01 trang
Lưu ý: Học sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh cầm tay.
Cõu 1: (2,5 điểm)
a) Tớnh giỏ trị của biểu thức: 
	Biết rằng: ; 
b) Rỳt gọn biểu thức: 
Cõu 2: (2 điểm)
a) Giải phương trỡnh: 
b) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: 
Cõu 3: (2 điểm)
a) Cho a, b, c là cỏc số hữu tỉ khỏc 0 thoả món: . 
Chứng minh rằng: là một số hữu tỉ.
b) Cho a, b, c > 0 thoả món: . Chứng minh biểu thức: 
	 là hằng số.
Cõu 4: (2,5 điểm) Đường trũn tõm O nội tiếp tam giỏc ABC lần lượt tiếp xỳc với cỏc cạnh BC, CA, AB tại cỏc điểm D, E, F. Đường trũn tõm O’ bàng tiếp trong gúc A của tam giỏc ABC tiếp xỳc với cạnh BC tại P và phần kộo dài của cỏc cạnh AB, AC tương ứng tại cỏc điểm M, N. 
a) Chứng minh rằng: và BP = CD.
b) Trờn đường thẳng MN ta lấy cỏc điểm I và K sao cho CK // AB, BI // AC. Chứng minh rằng: BICE là hỡnh bỡnh hành.
c) Gọi (S) là đường trũn đi qua 3 điểm I, K, P. Chứng minh rằng: (S) tiếp xỳc với cỏc đường thẳng BC, BI, CK.
Cõu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là cỏc số thực khụng õm và abc = 1. Chứng minh rằng:
----------------HẾT-----------------
	Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
	Họ tờn thớ sinh..........................................................................SBD:.....................
UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHềNG GD&ĐT
HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN 9
Kè THI CHỌN HSG LỚP 9 VềNG 1
Năm học: 2011-2012
Cõu 1: (2,5 điểm)
Cõu
Nội dung trỡnh bày
Điểm
a)
(1,5đ)
Ta cú
Khi đú A = 6 + 3x + 34 + 3y – 3(x + y) + 2011 = 2051
0,5
0,5
0,5
b)
(1đ)
b) Ta cú: 
Do đú: 
0,5
0,25
0,25
Cõu 2: (2 điểm)
Cõu
Nội dung trỡnh bày
Điểm
a)(1đ)
Điều kiện: 
Phương trình tương đương với
Ta có (thoả mãn)
 (thoả mãn)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 1.
0,25
0,25
0,25
0,25
b)(1đ)
- Nếu x = 0 thỡ y = 1, -1
- Nếu x ≠ 0, ta cú
Hay (loại)
Vậy PT cú 2 nghiệm nguyờn (x, y) là (0; 1), (0; -1)
0,25
0,5
0,25
Cõu 3: (2 điểm)
Cõu
Nội dung trỡnh bày
Điểm
a)(1đ)
Từ đề bài suy ra ab + bc + ca = 1
Ta cú 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c)
	1 + b2 = ab + bc + ca + b2 = (b + c)(a + b)
	1 + c2 = ab + bc + ca + c2 = (c + a)(b + c)
Do đú 
Vỡ a, b, c là số hữu tỉ nờn P là số hữu tỉ
0,25
0,25
0,25
0,25
b)(1đ)
Theo bài ra ta cú 
Do đú 
Tương tự 	
Khi đú 
0,25
0,5
0,25
Cõu 4: (2,5 điểm)
Cõu
Nội dung trỡnh bày
Điểm
a)(1đ)
O’.
F
E
A
B
C
N
I
D
P
M
K
.O
Ta cú 2BP = 2BM = 2AM – 2AB = AM + AN – 2AB 
	 = AB + BM +AC + CN – 2AB
	 = AB + BP + CP + AC – 2AB
	 = BC + CA – AB
Tương tự
 2CD = CD + CE = CB – DB + CA – EA
	 = CB + CA – FB – FA
	 = CB + CA – AB. 
Vậy BP = CD	
0,5
0,5
b)(0,75đ)
Vỡ BI // AN (gt) 
D BIM cõn tại B BM = BI = BP
Mà BP = CE ( = CD)
 BI = CE mà BI // CE. Vậy BICE là hỡnh bỡnh hành	
0,25
0,25
0,25
c)(0,75đ)
Theo chứng minh trờn ta sẽ cú BI = BP; CP = CK;
 DBIP; DCPK cõn tại đỉnh B; C
Gọi BI CK =, phõn giỏc gúc IBP cắt phõn giỏc gúc PCK tại S S là tõm đường trũn nội tiếp D BCQ
Vỡ DBIP cõn tại B BS là trung trực của PI
 DCPK cõn tại C CS là trung trực của PK
S là tõm đường trũn ngoại tiếp DPIK
 Đường trũn (S) ngoại tiếp DPIK tiếp xỳc với BC, BI, CK.
0,25
0,25
0,25
Cõu 5: (1 điểm) 
Cõu
Nội dung trỡnh bày
Điểm
Ta cú 
Tương tự ; 
Khi đú: 
= = ( do abc = 1) 
0,25
0,25
0,25
0,25
Lưu ý:
	- HDC chỉ là một cỏch giải. HS cú thể giải theo cỏch khỏc, giỏm khảo căn cứ vào bài làm cụ thể của HS để cho điểm.
	- Điểm cỏc phần, cỏc cõu khụng làm trũn. Điểm toàn bài làm trũn đến 0,25.
	- Bài hỡnh khụng vẽ hỡnh hoặc vẽ hỡnh sai thỡ khụng chấm.