Đề thi chọn HSG tỉnh Quảng Bình năm học 2014-2015 môn: Toán lớp 11 thpt - vòng 2

SỞ GD VÀ ĐT QUẢNG BèNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂMHỌC 2014-2015
—————— Mụn: TOÁN Lớp 11 THPT - Vũng 2
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 180 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1 (2,0 điểm)
Tỡm cỏc giới hạn
a) A = lim
n→+∞
1+ 2+ 4+ ...+ 2n
1+ 5+ 25+ ...+ 5n
.
b) B = lim
x→0
√
1+ 2014x. 3
√
1+ 2015x− 1
x
.
Cõu 2 (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng phương trỡnh sau cú nghiệm với mọi giỏ trị của tham số m :
2014x2015 − x3 +mx2 + 1 = m
b) Giải phương trỡnh
ằ
1+
√
1− x2 = x
Ä
1+ 2
√
1− x2
ọ
.
Cõu 3 (2,0 điểm)
Cho dóy số

u1 = 3
un+1 =
2n
n+ 1
un − 1n+ 1 (n ∈N
∗)
.
a) Tỡm cụng thức số hạng tổng quỏt của dóy số (un).
b) Tỡm n để nun là số chớnh phương.
Cõu 4 (2,5 điểm)
Cho hai đường trũn (O) và (O′) cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A và B. Tiếp tuyến chung gần
B của hai đường trũn lần lượt tiếp xỳc với (O) và (O′) tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng song
song CD cắt (O) và (O′) lần lượt tại M và N. Cỏc đường thẳng BC, BD lần lượt cắt MN tại P và
Q. Cỏc đường thẳng CM,DN cắt nhau tại E. Chứng minh rằng :
a) Đường thẳng AE và CD vuụng gúc với nhau.
b) Tam giỏc EPQ cõn.
Cõu 5 (1,5 điểm)
Mỗi số nguyờn từ 1 đến n (n > 3) được tụ bởi hai màu : xanh hoặc đỏ. Tỡm số nguyờn n nhỏ
nhất để với mọi cỏch tụ màu, đều tồn tại ba số cựng màu lập thành cấp số cộng.
———Hết ———