Đề thi chọn HSG tỉnh Quảng Bình năm học 2014-2015 môn: Toán lớp 11 thpt - vòng 1

SỞ GD VÀ ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂMHỌC 2014-2015
—————— Môn: TOÁN Lớp 11 THPT - Vòng 1
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Giải phương trình :
8 sin2 x cos x−
√
3 sin x− cos x = 0
b) Giải hệ phương trình :
2x+
1
x
+ y+
2
y
= 6(
x2 + y2
) (
1+
1
xy
)2
= 8
(x, y ∈ R)
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho dãy số u1 = 2un+1 = u2015n + un + 1u2014n − un + 3 (n ∈N∗)
a) Chứng minh un > 1, ∀n ∈N∗ và (un) là dãy số tăng.
b) Tìm lim
n
∑
i=1
1
u2014i + 2
.
Câu 3 (2,5 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và tất cả các cạnh của
hình chóp có độ dài bằng
√
2. M là một điểm trên đoạn AO và AM = x (0 < x < 1). Mặt phẳng
(P) đi qua M và song song với AD và SO.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P). Chứng minh thiết diện là hình
thang cân.
b) Tính diện tích của thiết diện theo x.
Câu 4 (1,5 điểm)
Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 chữ cái từ bộ chữ cái MAYMAN thànhmột hàng sao cho mỗi cách
sắp xếp 2 chữ cái giống nhau không đứng cạnh nhau.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng :
a√
4a2 + b2 + c2
+
b√
4b2 + c2 + a2
+
c√
4c2 + a2 + b2
6
√
3
2
———Hết ———