Đề thi chọn HSG lớp 9 vòng huyện Phú Quốc năm học: 2014-2015 môn: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG HUYỆN 
 HUYỆN PHÚ QUỐC NĂM HỌC: 2014-2015
 MÔN: TOÁN
	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6 điểm)
	a/ Chứng minh rằng: Z; Z
	b/ Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
Bài 2: (4 điểm)
	Cho biểu thức P = 
	a/ Rút gọn P.
	b/ Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên.	
Bài 3: (3 điểm)
	Trong một lớp học có 14 học sinh giỏi Toán, 13 học sinh giỏi Văn. Số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn bằng một nửa số học sinh không giỏi Toán mà cũng không giỏi Văn. Hỏi có bao nhiêu học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn, biết rắng số học sinh của lớp đó là 35? 
Bài 4: (3 điểm)
	Trên đường tròn (O; R) đường kính AB lấy một điểm C. Trên tia AC lấy điểm M sao cho C là trung điểm của AM.
	a/ Xác định vị trí của điểm C để AM có độ dài lớn nhất.
	b/ Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O) thì điểm M di động trên một đường tròn cố định.
Bài 5: (4 điểm)
	Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E.
	a/ Chứng minh: AB = AE
	b/ Gọi I là trung điểm của BE. Tính số đo của góc AHI.
..Hết..
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9- KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm học 2014-2015
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài
ĐÁP ÁN
Thang điểm
1a 
1b
Ta đặt A = 
 Vì a(a+1)(a+2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Do đó A6 hay AZ
Ta có: A(n) = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 
 = n3 + (n3 +3n2 + 3n + 1) + (n3 + 6n2 + 12n + 8)
 = 3n3 – 3n + 18n + 9n + 9
 A(n) = 3n (n – 1)(n + 1) + 18n + 9n2 + 9
Các số n – 1, n, n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3, do đó 3n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 9.
Biểu thức A(n) là tổng của bốn hạng tử chia hết cho 9 nên A(n) chia hết cho 9. 
1
1
0,5
0,5
0,75
0,75
0,5
0,5
0,5
2a
b)
Điều kiện: 
Rút gọn được P = 
P = 
Để P {4; 9}
0,5
1,5
0,75
1,25
3
Gọi x (học sinh) là số học sinh vửa giỏi Văn vừa giỏi Toán (x là số nguyên dương) thì số học sinh giỏi Toán nhưng không giỏi Văn, số học sinh giỏi Văn nhưng không giỏi Toán, số học sinh không giỏi Văn cũng không giỏi Toán lần lượt là : 14 – x (học sinh), 13 – x (học sinh) và 2x (học sinh)
Ta có phương trình: x + 14 – x – 13 – x + 2x = 35
Giải phương trình này ta được: x = 8
Vậy lớp đó có 8 học sinh vừa giỏi Văn vừa giỏi Toán. 
1
1
0,5
0,5
4
Hình vẽ: 0,5điểm
O
B
C
A
M
 a) Vì AM=2.AC nên AM lớn nhất
 AC lớn nhất 
 AC làđường kính của đường tròn (O)
 C B	 
	 b) DBAM có có BC vừa đường cao vừa là đường trung tuyến nên D BAM cân
 BM=BA=2R	 
 Điểm M cách điểm B cố định một khoảng bằng 2R không đổi nên M di động trên đường tròn (B;2R). 
0,25
0,5
0,25
0,75
0,75
5
a/ Kẻ EM AH 
HME = MHD =HDE = 900 ( vì AH BC, DE BC)
tứ giác HMED là hình chữ nhật ME // HD
AEM = C
Mà BAH + ABH = 900 và ABH + C = 900
AEM = BAH 
Xét ABH và EAM có: 
AEM = BAH và AHB = AME = 900
 Mặt khác: AH = HD (gt), ME = HD ( do tứ giác MEDH là hình chữ nhật) AH = EM
ABH = EAM ( g-c-g)
AB = AE (đpcm)
b/ 
Ta có: IB = IE (gt) ID là đường trung tuyến củaBED và AI là đường trung tuyến củaABE IA = ID = IB = IE 
Xét AHI và DHI có: AH = DH , HI chung, IA = ID
AHI = DHI AHI = DHI
Ta lại có: AHI + DHI = 900 AHI = 450
Vẽ đúng hình được 0,5đ
 0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5