Đề thi chọn HSG lớp 9 vòng 2 năm học: 2015- 2016 môn: Toán - Trường Thcs Nghĩa Thắng

 TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 VỊNG 2
 	 Năm học: 2015- 2016 
 Mơn: Tốn
 Thời gian: 150 phút (Khơng tính thời gian phát đề)
Bài 1: ( 3 điểm ) Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì 
 A = (x +2011 y)(x + 2012y)(x + 2013y)(x + 2014y) + 2015y4 là số chính phương
Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình: 
 	a) 
 	 b) 
Bài 3: (2điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: 
 chia hết cho 24.
Bài 4: (2 điểm ) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1
Tính: T = 
Bài 5: (4 điểm ) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = .
Bài 6: (3 điểm) 
Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC, đường cao AD. Lấy điểm M bất kì thuợc cạnh BC; Gọi E và F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC; Gọi I là trung điểm của AM.
a) Xác định dạng của tứ giác DEIF (1,5 điểm)
b) Chứng minh rằng các đường thẳng MH, ID, EF đờng quy (1,5 điểm)
Bài 7: (3 điểm) Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AM, BN và CK của cắt nhau tại H. Điểm D đối xứng với điểm B qua điểm O.
	1/ Tính 	(1,0 điểm)
	2/ Chứng minh: tổng có giá trị là một hằng số. (2,0 điểm)
------------------Hết-----------------
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Câu
Đáp án
Biểu điểm
Bài 1
(3điểm )
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 2
(3điểm )
a) PT đã cho tương đương:
Vì 
Nên Pt đã cho tương đương với x- 2000 = 0 x = 2000	 (0,25đ)
Vậy S = {2000}
b) 	Vậy S ={9}	
0,5
0,5
0,5
0,75
Bài 3
(2 điểm )
=
= 
= 
Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; là bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2.3.4 = 24 và 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên chia hết cho 24 
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 4
(2 điểm )
Ta cĩ 	1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y)	
Tương tự ta cĩ:	1+y2 =(y+x)(y+z)
	1+z2 =(z+x)(z+y)	
T==
=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)	= 2(xy+yz+zx) =2 . Vậy T = 2
1
0.5
0.5
Bài 5
(4 điểm )
Cĩ: 
Þ = 
Þ 
Tương tự: 
P £ =
 = = 
Dấu “=” xảy ra khi 
Từ đĩ giá trị lớn nhất của P là đạt được khi và chỉ khi 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.5
0.5
0.25
Bài 6
(3 điểm )
a) Xét tam giác AEM có: EI=1/2.AM và tam giác ADM có: DI=1/2.AM
	Do đó tam giác EID cân tại I (1) 
 Ngoài ra: GócEIM = 2.gócEAI và gócDIM=2.gócDAI
	=> góc EIM + góc DIM = góc EID = 2.góc EAD = 2.30o = 60o 
	Vậy góc EID = 60o (2) 
	Từ (1) và (2) => tam giác EID đều (3) 
	Tương tự ta chứng minh được tam giác IDF đều (4) 
	Từ (3) và (4) => DEIF là hình thoi. 
b) Gọi O là giao điểm của ID và EF, 
ta cần chứng minh: M,O,H thẳng hàng 
Thật vậy, gọi N là trung điểm của AH.
Vì H là trực tâm nên H cũng là trọng tâm của 
tam giác đều ABC => AN=NH=HD 
Khi đó: OH là đường trung bình của tam giác DIN
=> OH // IN 
và IN là đường trung bình của tam giác AHM
=> MH // IN 
Do đó M,O,H thẳng hàng hay MH, ID, EF đờng quy tại O. 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
Bài 7
(3 điểm )
1/ Tam giác BCD có OB = OC = OD = bán kính đường tròn tâm O, nên tam giác BCD vuông tại C. Vậy AH // DC ( vì cùng vuông góc với BC)
Tương tự, tam giác ADB cũng vuông tại A, do đó AD//CH (vì cùng vuông góc với AB) 
Vậy, tứ giác AHCD là hình bình hành 
Do đó AH= DC, suy ra = 1 
2/ Gọi S là diện tích và S1, S2, S3 theo thứ tự là diện tích các tam giác BHC, AHB, AHC.
Ta có S= 
S1= 
suy ra: (1)
Tương tự, ta có (2); (3)
Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta cĩ: không đổi
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5