Đề thi chọn HSG lớp 11 năm học 2011-2012 môn: Toán - Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (3,0 điểm).
1.	Giải hệ phương trình: .
2.	Tính giới hạn sau: .
Câu 2 (2,0 điểm).
Cho các số thực dương thỏa mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất có thể được của biểu thức 
Câu 3 (2,0 điểm).
Tìm tất cả các số nguyên dương n và số nguyên tố p thỏa mãn đồng thời các điều kiện và chia hết cho .
Câu 4 (2,0 điểm).
Xét các điểm M, N (M, N không trùng với A) tương ứng thay đổi trên các đường thẳng chứa các cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho và các đường thẳng BN, CM cắt nhau tại P. Gọi Q là giao điểm thứ hai (khác điểm P) của đường tròn ngoại tiếp các tam giác BMP và CNP. 
1.	Chứng minh rằng Q luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
2.	Gọi lần lượt là điểm đối xứng với qua các đường thẳng . Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 5 (1,0 điểm).
Ta gọi mỗi bộ ba số nguyên dương là một bộ đẹp nếu ước chung lớn nhất của bằng và . Ví dụ, bộ là đẹp, nhưng không phải là đẹp. Tìm tất cả các bộ đẹp với mọi (nếu có).
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......; Số báo danh.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
———————————
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
1
2,0 điểm
Hệ phương trình tương đương: 
Nếu một trong ba số bằng thì hệ phương trình vô nghiệm.
 hệ phương trình trở thành 
0,5
Đặt với . Do 
0,5
Ta có 
0,5
Vậy, hệ phương trình có 7 nghiệm: ,
,, .
0,5
2
1,0 điểm
Xét hàm số với . Theo định lí Lagrange tồn tại sao cho: 
0,25
.
0,5
Do 
. Vậy .
0,25
2
2,0 điểm
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 	(1)
 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 	(2)
 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 	(3)
 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (4)
0,5
 hay 
0,5
Mặt khác, từ giả thiết suy ra và . Do đó
0,5
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức D bằng đạt được khi 
0,5
3
2,0 điểm
Với thì mọi số nguyên tố đều thỏa mãn. Với thì và . Suy ra . 
0,25
Xét và 
Do là số lẻ và là bội của nên n là số tự nhiên lẻ, do đó .
0,25
Gọi q là ước nguyên tố nhỏ nhất của n. 
Do nên và .
0,25
Do n, q đều lẻ nên ; do đó tồn tại sao cho . 
Khi ấy u lẻ và
Suy ra , do p, qlà các số nguyên tố nên .
Từ đó, do suy ra 
0,5
Vậy là ước của 
0,25
Do mỗi số hạng của đều chia hết cho p nên . Bởi vậy .
Kết luận: p là số nguyên tố}.
0,5
4
2,0 điểm
1
1,0 điểm
Do cùng nằm trên một đường tròn và cùng nằm trên một đường tròn, nên 
 và 
0,5
Từ đó suy ra (2)
Gọi I và J theo thứ tự là hình chiếu của Q trên các đường thẳng BM và CN. Khi đó, do (2) nên (do ). 
Từ đó, theo tính chất của đường đối trung, Q nằm trên đường đối trung kẻ từ A của tam giác ABC. 
0,5
2
1,0 điểm
Gọi là giao điểm của AP với BC. Áp dụng định lý Céva cho tam giác ABC ta có
Do nên từ đó và (1) suy ra hay L là trung điểm BC.
0,25
Do AQ là đường đối trung nên và kết hợp với tứ giác nội tiếp nên suy ra (3).
0,25
Do cách xác định các điểm nên hay tam giác cân tại , kết hợp với là đường trung bình của tam giác 
 (4)
0,25
Từ (3), (4) suy ra là đường trung trực của đoạn B’C’ suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ nằm trên đường thẳng AP hay nằm trên trung tuyến AL của tam giác ABC.
0,25
5
1,0 điểm
Trước hết ta có nhận xét: Với mỗi số nguyên tố p thì
 (định lý Fermat)
Do đó, vì ước chung lớn nhất của bằng 1 suy ra
0,25
Vậy, nếu p là một ước nguyên tố của thì hoặc .
Từ đó, nếu là đẹp thì chỉ có các ước nguyên tố là 2, 3.
0,25
Do và a, b, c không cùng chẵn nên (1)
Do và a, b, c không cùng chia hết cho 3 nên (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra nếu là đẹp thì không chia hết cho 4 và 9. Do đó bằng 3 hoặc 6.
Bằng việc kiểm tra trực tiếp, thu được và là đẹp với mọi .
0,25