Đề thi chọn HSG lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2012-2013 môn: Toán (dành cho học sinh THPT chuyên)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT Chuyên) 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (3,0 điểm). 
Giải hệ phương trình 
Tìm tất cả các giá trị của a, b sao cho phương trình có các nghiệm đều là các số nguyên dương.
Câu 2 (2,0 điểm). Giả sử là các số nguyên sao cho là số nguyên lẻ và chia hết Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n đều có chia hết 
Câu 3 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng cho tam giác không cân ngoại tiếp đường tròn tâm I. Lấy E và F lần lượt trên các đường thẳng AC và AB sao cho đồng thời chúng nằm về cùng một phía với A đối với đường thẳng BC. Các đường thẳng BE và CF cắt nhau tại G. 
Chứng minh rằng bốn điểm C, E, I và G cùng nằm trên một đường tròn.
Trên đường thẳng qua G và song song với AC lấy điểm H sao cho đồng thời H khác phía với C đối với đường thẳng BG. 
Chứng minh rằng 
Câu 4 (1,0 điểm). Ký hiệu để chỉ tập hợp các số thực khác 0. Tìm tất cả các hàm số f xác định trên , nhận giá trị thực và thỏa mãn 
Câu 5 (1,0 điểm). Một số nguyên dương được gọi là dễ thương nếu trong biểu diễn thập phân của nó không có chứa chữ số 0 và tổng bình phương các chữ số của nó là một số chính phương.
Tìm số dễ thương lớn nhất có hai chữ số.
Hỏi có hay không số dễ thương có 2013 chữ số?
-------------Hết-------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:....Số báo danh
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
 (Đáp án có 03 trang)
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT Chuyên)
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
1(3đ)
1.1 (1,5 điểm)
Điều kiện 
0,25
Đặt viết hệ đã cho về dạng
0,25
(1)+(2) thu được 
0,25
(2)-(1) thu được 
0,25
Từ (3) và (4) thu được và . 
0,25
Từ đó, tìm được và . 
Và do đó, tìm được 
0,25
1.2 (1,5 điểm)
Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm nguyên dương Khi đó, theo định lý Vietta, và và do đó (1) (2).
0,25
Nếu thì và , mâu thuẫn với (1). Vậy 
0,25
Với khi đó Từ đó 
0,25
Với Giải phương trình này với chú ý ta được . Với . Với 
Với vô lí
0,5
Vậy tất cả các cặp số .
0,25
2(2đ)
+ Chứng minh được nhận xét: “Với a,b,x,y,z,t là các số nguyên sao cho là ước của và là ước của thì ” 
0,25
+ Mặt khác, do nên suy ra 
.
 Từ đó, do giả thiết nên thu được (1)
0,25
+ Ta sẽ chứng minh kết luận của bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với thì kết luận hiển nhiên đúng.
0,25
Giả sử khẳng định đúng tới n, tức là với 
Ta cần chứng minh (2)
0,25
Thật vậy, do và nhận xét ở trên suy ra là ước của
0,25
Nhưng, do (1), giả thiết quy nạp và nhận xét ở trên suy ra 
0,25
Vậy suy ra là ước của 
(2) được chứng minh.
0,25
Từ đó, theo nguyên lý quy nạp, suy ra với mọi số nguyên dương n.
0,25
3(3đ)
3.1 (2,0 điểm)
 Không mất tính tổng quát, xét trường hợp các trường hợp khác xét tương tự. Khi đó, E nằm trên đoạn CA, F nằm trên tia đối của tia AB,  (hình vẽ)
Từ giả thiết, suy ra F đối xứng với C qua phân giác trong của góc . Do đó
 và . Suy ra tứ giác AFCI nội tiếp.
0,5
Từ đó và 
0,5
Do 
0,5
Hơn nữa, do tính đối xứng nên suy ra tứ giác CIEG nội tiếp.
0,5
3.2 (1,0 điểm)
Do tứ giác CIEG nội tiếp, nên 
0,25
Hơn nữa, do nên suy ra đồng dạng 
Suy ra 
0,25
Nhưng suy ra đồng dạng 
0,25
Từ đó 
0,25
Chú ý. Nếu không có sự giả sử để có được thứ tự các điểm như trên hình vẽ, thì yêu cầu phải sử dụng góc định hướng trong chứng minh ở cả hai phần (với cách giải như trên); trong trường hợp thí sinh không sử dụng góc định hướng, cũng không có sự giả sử về thứ tự của các cạnh, đề nghị giám khảo trừ đi 0,5 điểm cho cả hai phần.
4(1đ)
Đặt , phương trình hàm đã cho được viết lại về dạng
 (1)
0,25
Cho thu được 
Trong (2), thay x bởi , ta được 
0,25
Từ (2) và (3) suy ra (4)
Trong (1), cho , bằng lập luận tương tự, cũng được
0,25
Từ (4) và (5) suy ra hay , ở đây a, b là hai hằng số. Suy ra 
Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho.
0,25
5(1đ)
5.1 (0,5 điểm)
Giả sử số dễ thương có hai chữ số lớn nhất là . Theo giả thiết ta có là số chính phương. Nếu đều không chia hết cho 3 thì , vô lý vì là số chính phương suy ra .
+) Nếu không có nghiệm nguyên dương với 
0,25
+) Nếu , thử trực tiếp ta thấy thỏa mãn. Vậy số dễ thương lớn nhất có 2 chữ số là 86.
0,25
5.2 (0,5 điểm)
Xét số . Khi đó suy ra là số dễ thương.
0,5
------------------Hết------------------