Đề thi chọn HSG lớp 10 THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2010-2011 môn: Toán dành cho học sinh THPT không chuyên

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (4 điểm)
1. Cho hệ phương trình (trong đó là tham số; và là ẩn)
a) Tìm để hệ phương trình trên có nghiệm.
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức .
2. Tìm tất cả các giá trị để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn 
Câu II (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình 
Câu III (1 điểm)
Chứng minh rằng nếu là các số thực dương thì 
Câu IV (3,5 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm và . Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho góc AMB bằng .
2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Các đường thẳng AH, BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C). Hãy viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC; biết rằng .
3. Cho tam giác ABC, có . Gọi I, p lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, nửa chu vi của tam giác ABC. Chứng minh rằng
-------------Hết-------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH VĨNH PHÚC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên)
Đáp án gồm 3 trang
Câu
Nội dung
Điểm
I
4 điểm
1.a (2 điểm)
Đặt . Khi đó hệ phương trình trở thành
1,0
Để hệ có nghiệm thì 
1,0
1.b (1 điểm)
Ta có 
0,5
Lập bảng biến thiên ta được khi ; khi 
0,5
2. (1 điểm)
Đặt , thay vào phương trình ta được 
 phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi 
0,25
. Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm là
0,5
Để các nghiệm đều lớn hơn thì . Vậy các giá trị của là 
0,25
II
(1,5 điểm)
ĐK , ta thấy từ pt thứ nhất , do đó . Từ đó ta đặt 
 thay vào hệ ta được
0,5
Đặt (vì ). Thế từ phương trình thứ nhất của hệ trên vào phương trình thứ hai ta được
.
0,5
+) Nếu ta có 
+) Nếu vô lí vì 
Kết luận nghiệm của hệ là 
0,5
III
1 điểm
Do nên bất đẳng thức đã cho tương đương với
0,25
0,25
, bất đẳng thức này luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi 
0,5
IV
3,5 điểm
1. (1,5 điểm)
Giả sử tọa độ của . Khi đó .
Theo giả thiết ta có 
0,5
0,5
0,25
Vậy ta có hai điểm cần tìm là hoặc 
0,25
2. (1 điểm)
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Do tứ giác BCB’C’ nội tiếp nên H nằm trên đường phân giác trong hạ từ D của tam giác DEF, tương tự ta cũng chỉ ra được H nằm trên đường phân giác trong hạ từ đỉnh E của tam giác DEF. Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF.
0,5
Ta lập được phương trình các đường thẳng DE, DF lần lượt là
. Do đó phương trình phân giác trong và ngoài của đỉnh D là . Kiểm tra vị trí tương đối của E, F với hai đường trên ta được phân giác trong kẻ từ đỉnh D là
. Tương tự ta lập được phương trình phân giác trong kẻ từ đỉnh E là . Mặt khác H là giao của d và d’ nên 
0,25
Ta có AC là trung trực của HE nên AC đi qua trung điểm và có vtpt là 
0,25
3. (1 điểm)
Gọi M là tiếp điểm của AC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có . Gọi là diện tích tam giác ABC, theo công thức Heron ta có . Áp dụng định lí Pitago trong tam giác AIM ta có 
0,5
Tương tự ta có 
0,25
Do vậy 
0,25