Đề thi chọn hsg lớp 10 THPT năm học 2014 - 2015 đề thi môn: Toán

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). 
Tìm tập xác định của hàm số: .
Câu 2 (1,0 điểm). 
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên khoảng .
b) Chứng minh rằng hàm số là một hàm số lẻ.
Câu 3 (1,0 điểm). 
Giải phương trình: .
Câu 4 (1,0 điểm). 
Giải hệ phương trình: 
Câu 5 (1,0 điểm). 
Tìm tất cả các giá trị của sao cho bất phương trình vô nghiệm (x là ẩn, m là tham số).
Câu 6 (1,0 điểm). 
Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB và G’ là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng O, G, G’ thẳng hàng.
Câu 7 (1,0 điểm). 
Cho tam giác ABC không vuông và có các cạnh . Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn và thì tam giác ABC đều.
Câu 8 (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác ABC không là tam giác vuông và nội tiếp đường tròn (I) ( đường tròn (I) có tâm là I ); điểm là trực tâm tam giác ABC. Kẻ các đường kính AM, BN của đường tròn (I). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết và đường thẳng BC đi qua điểm .
Câu 9 (1,0 điểm). 
Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: .
-------------Hết-------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......; Số báo danh
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
(Đáp án có 05 trang)
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
1
(2,0 điểm)
Hàm số xác định khi và chỉ khi 
1,0
0,5
. Vậy tập xác định của hàm số là 
0,5
2
(1,0 điểm)
a.(0,5 điểm)
Với mọi ta có: 
0,25
(Do ). 
Do đó đồng biến trên .
0,25
b.(0,5 điểm)
Tập xác định của hàm số là . Với mọi , ta có ,
0,25
 suy ra là hàm số lẻ.
0,25
3
(1,0 điểm)
Điều kiện xác định: .
Bất phương trình đã cho tương đương với:
0,25
Đặt ta có:
Thay vào phương trình trên ta được: 
0,25
+) 
 vô nghiệm do 
0,25
+) 
 thỏa mãn điều kiện. 
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
0,25
4
(1,0 điểm)
Ta có 
0,25
Với thay vào (2) ta được 
+) .
+) .
0,25
Với thay vào (2) ta được 
+) .
+) .
0,25
Vậy, hệ (I) có nghiệm là: .
0,25
5
(1,0 điểm)
Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi 
0,25
TH1. Nếu thì vô lí.
0,25
TH2. Nếu thì 
0,25
. 
Vậy tập hợp các giá trị của là .
0,25
6
(1,0 điểm) Bài này học sinh không nhất thiết phải vẽ hình.
Kết quả cơ bản: cho tam giác ABC trọng tâm G. Khi đó với mọi điểm O ta có .
Do M, N, P lần lượt là trọng tâm các tam giác OBC, OCA, OAB nên:
0,5
Cộng từng vế 3 hệ thức trên ta được: 
 thẳng hàng.
0,5
7
(1,0 điểm)
Theo định lí hàm số sin và côsin ta có: 
0,25
Tương tự ta có .
0,25
0,25
 (do ),
kết hợp với .
Vậy tam giác ABC đều.
0,25
8
(1,0 điểm)
Nhận xét. Các tứ giác BHCM, AHCN là các hình bình hành suy ra nếu gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA thì E, F cũng tương ứng là trung điểm của HM, HN. Do đó .
Đường thẳng BC đi qua điểm P(4;2), nên:
.
AH vuông góc với BC suy ra AH có vtpt , kết hợp với AH đi qua điểm suy ra:
.
0,25
.
Do F là trung điểm AC nên:
.
Do E là trung điểm của BC nên:
Vậy .
0,5
0,25
9
(1,0 điểm)
Thay thì bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
0,25
Ta có
0,5
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
0,25
----------------------Hết----------------------