Đề thi chọn học sinh thi giỏi huyện năm học 2016 môn thi: Toán 9

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH THI GIỎI HUYỆN NĂM 2016
Môn thi: TOÁN 9 - Bài 4 
Thời gian làm bài : 120 phút.
Đề ra : 
Câu 1. (6đ)
 Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức
Tìm giá trị của x để P có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Tính gia trị của P khi 
Câu 2. (4đ) 
 a. Cho hai số x và y là hai số dương và x3+y3= x-y.
 Chứng minh rằng : x2+ y2<1
 b, Chứng minh rằng , nếu và a + b + c = abc
 thì ta có:
 c . Giải phương trình: 
Câu 3. (3 điểm).
	 Cho thỏa mãn. Chứng minh rằng: 
Câu 4. (6 điểm).
	Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm), cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q). Gọi H là giao điểm của OM và AB.
	a. Chứng minh: 
 b. Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng có giá trị nhỏ nhất.	 
Câu 5 (5đ)
Cho hình thang vuông ABCD (), O là trung điểm của AD và góc BOC=90o . Gọi E là giao điểm của BO và CD.
Chứng minh tam giác BCE cân tại C
Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD 
Cho tam giác ABC với hai phân giác BD và CE. Gọi M là một điểm 
 trên đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng khoảng cách đến BC bằng 
 tổng khoảng cách từ M đến AB và AC.
 GVBM : Xuân Hà
 ĐÁP ÁN 
1a. ĐKXĐ: 
 Rút gon biểu thức 
1b. Biến đổi ĐKXĐ
 Suy ra GTNN của P là -9/4 khi x=1/4
1c. Khi 
2a. Ta có : y+y3= x(1-x2)>0 ; (vì x;y>0)
 Suy ra 0<x2<1 hay 0<x<1
 Mà x3+y3= x-y>0	 (vì x;y>0)
 Suy ra 0<y<x<1 
Áp dung bất đẳng thức Bunhiakopsky ta có:
 (Vì 
2b. Do : (1)
 Và a + b + c = abc Từ (1) và (2) 
 2c . ĐKXĐ : 
 Ta có 
 Dấu “=” xẩy ra khi 
Kết hợp vơi ĐKXĐ 
3 . Sử dụng bất đẳng thức Cô si
Ta có: (1)
Tương tự: (1) và (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra: 
Mặt khác hay 
Do đó: = 
Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 
 4a . 
MPA đồng dạng MAQ (g.g), suy ra MA2 = MP.MQ (1)
MAO vuông tại A, có đường cao AH nên MA2 = MH.MO (2)
Từ (1) và (2) suy ra MP.MQ = MH.MO hay (*)
MPH và MOQ có góc M chung kết hợp với (*) ta suy ra MPH đồng dạng MOQ (c.g.c) suy ra 
Do đó tứ giác PQOH là tứ giác nội tiếp = (đpcm)
Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EB = EF hay EBF cân tại E, suy ra . Đặt khi đó nên F di chuyển trên cung chứa góc dựng trên BC.
4b . Ta có: . Như vậy nhỏ nhất khi EA + EB lớn nhất hay EA + EF lớn nhấtAF lớn nhất (**)
Gọi O’ là điểm chính giữa của cung lớn AB, suy ra O’AB cân tại O’ suy ra O’A=O’B (3)
O’EB và O’EF có EB = EF, O’E chung và (cùng bù với O’EB =O’EF (c.g.c) suy ra O’B = O’F (4)
Từ (3) và (4) suy ra O’ là tâm cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng BC. (cung đó và cung lớn AB cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB)
Do đó AF lớn nhất khi nó là đường kính của (O’) khi E O’ (***). 
Từ (**) và (***) suy ra E là điểm chính giữa cung lớn AB thì có giá trị nhỏ nhất.
Câu IV.(5đ)
1. 
Chứng minh tam giác BCE cân tại C
 AOB = DOE OB = OE
 Mà OCBE
CBE cân tại C
A
C
D
E
O
B
H
B
b. 
 - Hạ OH BC . OH = OD
(CBE cân tại CCO là tia phân giác
 của góc C)
 - Mà O là tâm của đừơng tròn đường kính AD
 BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kinh AD
 2
A
D
C
R
H
Q
B
E
K
N
P
M
S
L
Từ D, hạ DLAB; DRBC
Từ E, hạ EQBC; ENAC
Ta có: 
 (3)
*Nếu ED//AB EQ=DR=MH
*Nếu ED không song song vơi ABED cắt AB tại S
 Xét SDR có EQ//MH//DR.
 Theo Talet (4)
 (5)
Nhân (4) và (5) vế theo vế ta có:
Từ (3) Và (6) 
 GVBM : Xuân Hà