Đề thi chọn học sinh thi giỏi huyện năm 2016 môn thi: Toán 9

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH THI GIỎI HUYỆN NĂM 2016
Môn thi: TOÁN 9 - Bài 6 .
Thời gian làm bài : 120 phút.
Đề ra : 
Bài 1: Cho biểu thức :
 A = - - 
 a, Rút gọn A
 c, Tìm các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên
 d, Tìm giá trị của x để biểu thức M = đạt Min .
 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức sau :
 K = x1420 + x404 + x55 + x50 + x35 +x25 +x20 + x7 + 2016 ; ( x>0)
 	 X 
 Bài 3 : Cho biết : . (*)
 Tính giá trị của biểu thức: Q = 
 Bài 4 : cho các số thực : a1 , a2 ,a3 ,  , a2016 . thỏa mãn đẳng thức :
 a1 + a2 + a3 +  + a2016 = 1.
 CMR : a12 + a22 + a32 +  +a22016 .
 Bài 5 : Cho x,y,z không âm thỏa mãn : x + y + z =9 .
 Tính giá trị nhỏ nhất ( min ) của biểu thức : B = xy + yz +zx .
 Bài 6 : Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó 
 cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.
 Bài 7 : 
 Gọi a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác cho biết : 
 (a+b)(b+c )(a+c) = 8abc . CMR : tam giác đã cho là đều .
 Câu 8 : 
 Tìm một đa thức bậc ba cho biết : P(0)=10 ; P(1)= 12 ; P(2) = 4; P(3) = 1 .
 Câu 9 : Tìm đa thức bậc 3 P(x) cho biết khi chia P(x) cho các đa thức :
 (x-1); (x-2) ; (x-3) đều được dư là 6 và P(-1) = -18 .
 Câu 10 : Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc
 cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . 
 Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
Chứng minh : ∆OEM vuông cân. 
Chứng minh : ME // BN.
Từ C kẻ CH BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng. 
 GVBM : Xuân Hà
 Hướng dẫn giải :
1 . tự giải . 
2 . Thật vậy ta phân tích k thành tổng của 2016 số với cùng mẫu số x( với x > 0 ) ,
 rồi Áp dụng Bất Đẳng Thức Cô Si cho 2016 số không âm ta có : 
3. Từ (*) Ta lần lượt nhân hai vế với lượng liên hợp của hằng đẳng hiệu hai bình 
 phương ta có hệ pt sau : -5(y + ) =5( x - ) (1)
 -5(x + ) = 5 (y - ) (2)
 Cộng (1) và (2) theo vế ta có :10 (x + y) = 0 ó (x + y ) = 0 . (**)
 Từ ( ** ) và Q ta có : giải tương tự như dưới đây
 Q=
 Giá trị : Q = 0 tại : x = - y .
4 . Áp dụng bất thức Bunhiacopxki cho 2016 số ta có điều cần chứng minh .
5 . Áp dụng bất đẳng thức Bu Nhiacôpxky ta có :
 B2 = (xy + yz + zx )2 (x2 + y2 + z2 )(x2 + y2 +z2 ) .
 Mà : (x2 + y2 + z2 ) = (x +y + z )2 -2xy – 2yz – 2zx 0 .(***)
 B2 (x2 + y2 + z2 )(x2 + y2 +z2 )
ó B (min) = 27 Khi và chỉ khi : = = và x + y + z = 9ó x = y = z = 3 ./.
6 . Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2 
Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1
= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1 = ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ
 vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn a2 + a + 1 là số lẻGọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2 
Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1
= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1 = ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn a2 + a + 1 là số lẻ .
7 . Từ giả thiết ta có : (a+b)(b+c )(a+c) = 8abc 
( ca2 -2abc+cb2 )+( ab2 -2abc c2a) +( bc2 - 2abc +a2b)= 0 
 C(a-b)2 +a(b-c)2 +b( c- a)2 = 0 => => a=b=c => tam giác đều .
8 . Đặt: P(x) = d+cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2)
 P(0) = d => d=10 ;
 P(1) = d+cx => c + d = 12=> c = 2 ;
 P(2) = d+cx +bx(2-1) =4
 => 10+4+2b = 4=> b=-5 ;
 P(3) = d+cx +bx(x-1) +ax(x-1)(x-2) = 1
 P(3) = 10+2.3+ (-5).2 +a.32.1 = 1 => a = 
 Vậy HSXĐ : P(x) = x (x-1)(x-2) - 5x(x-1) +2x + 10
 10 .
Hình vẽ
Xét ∆OEB và ∆OMC Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC Và 
 BE = CM ( gt ) Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)	 OE = OM và 
Lại có vì tứ giác ABCD là hình vuông
 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O
Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD
+ AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lét) (*)
Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*)
Ta có : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)
Gọi H’ là giao điểm của OM và BNTừ ME // BN ( cặp góc so le trong)Mà vì ∆OEM vuông cân tại O∆OMC ∆BMH’ (g.g)
 ,kết hợp ( hai góc đối đỉnh)
∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) 
Vậy 
Mà CH BN ( H BN) H H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm)