PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề) Câu 1: (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1 không phải là số chính phương. b) Cho = 21 + 22 + 23 + + 230. Chứng minh rằng: chia hết cho 21. Câu 2: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức sau: . b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn Câu 3: (4,0 điểm) a) Chứng minh: b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 4y + 2016 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho góc IOM = 90O (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông). a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a. b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM. Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và góc BKM = góc BCO. c) Chứng minh . Câu 5: (2,0 điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5. Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab -----------------------Hết ------------------------- Họ và tên thí sinh: . Số báo danh .............. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán Câu 1: (4,0 điểm) a. 2.0đ n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n - 1)(n + 1) +2(n + 1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2) Với nN, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2 Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2 Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2 n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 không phải là một số chính phương 0.5 0.5 0.5 0.5 b. 2.0đ B = 21 + 22 + 23 + + 230 Ta có: B = 21 + 22 + 23+ + 230 = (21 + 22) + (23 + 24) + + (229 + 230) = 2.(1+2) + 23.(1+2) + + 229.(1+2) = 3.( 2 + 23 ++ 229) suy ra B 3 (1) Ta có: B = 21 + 22 + 23+ + 230 = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + + (228 +229 + 230) = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + + 228.(1+2+22) = 7 (2 + 24 + + 228) suy ra B 7 (2) Mà 3 và 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau. Kết hợp với (1) và (2) suy ra : B 3.7 hay B 21 0.75 0.75 0.5 Câu 2: (4,0 điểm) a) ĐK: 0.25 Ta có 0.25 0.25 0.5 0.5 Vậy với . 0.25 b) Ta có (1) 0.5 (2) 0.5 Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 0.25 Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0) 0.5 KL 0.25 Câu 3: (4,0 điểm) a a2 + 5b2 – (3a + b) 3ab – 5 2a2 + 10b2 – 6a -2b – 6ab +10 0 a2 – 6ab +9b2 + a2 – 6a + 9 + b2 - 2b +1 0 (a – 3b)2 +(a - 3)2 + (b – 1)2 0 . Dấu « = » xảy ra khi a = 3 ; b = 1 0,5 0,5 0,5 0,5 b Ta có: A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 4y + 2016 = x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 + y2 - 6y + 9 + 2006 = (x + y + 1)2 + (y - 3)2 + 2006 Nhận thấy với mọi x,y ta có . Suy ra A 2006 Dấu “=” xảy ra khi Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2006 đạt được khi 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 4: (6,0 điểm) Xét và có: IBO = MCO = 45O BO = CO ( t/c đường chéo hình vuông) BOI =COM( cùng phụ với BOM) = (g.c.g) 1,0 mà Hay 1,0 Ta có CM = BI ( vì =) BM = AI Vì CN // AB nên IM // BN ( Định lí Talet đảo) Hay IMNB là hình thang 1,0 Vì OI = OM ( vì =) cân tại O IMO =MIO = 45O Vì IM // BN IM // BK BKM =IMO = 45O( sole trong) => BKM =BCO 0,5 Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E .Chứng minh Ta có vuông tại A có AD NE nên 1,0 Áp dụng định lí Pitago vào ta có AN2 + AE2 = NE2 1,0 Mà và CD = AD 0,5 Câu 5: (2,0 điểm) Với 2 số a, b dương: Xét: a2 + b2 – ab 1 0,25 (a + b)(a2 + b2 – ab) (a + b) ( vì a + b > 0) a3 + b3 a + b 0,5 (a3 + b3)(a3 + b3) (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) 0,5 a6 + 2a3b3 + b6 a6 + ab5 + a5b + b6 2a3b3 ab5 + a5b 0,25 ab(a4 – 2a2b2 + b4) 0 đúng a, b > 0 . Vậy: với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5 0,5
Tài liệu đính kèm: