Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán Lớp 7 - Năm học 2010-2011 - Phòng GD & ĐT Sơn Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT SƠN DƯƠNG
Đấ̀ CHÍNH THỨC
đề chọn học sinh năng khiếu
NĂM HỌC 2010-2011
Mụn thi : Toỏn 7
Thời gian: 90 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1( 6đ): Tỡm cỏc số x, y, z biết.
	a/ (x – 1)3 = - 8	b/ 
	c/ x - 3 = 0	d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Bài 2:(4 đ)
a) Thực hiện phộp tớnh: 
	b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ : 
chia hết cho 10
Cõu 3:(3.5đ) 
a/ Tỡm số dư khi chia 22011 cho 31 
b/ Với a, b là cỏc số nguyờn dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6
Câu 4( 2.5đ). Cho 2 đa thức 
 P = x + 2mx + m và
 Q = x + (2m+1)x + m
 Tìm m biết P (1) = Q (-1)
Cõu 5:(4đ) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, đường cao AH. Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc ABE và ACF vuụng cõn tại A. Từ E và F kẻ đường vuụng gúc EK và FN với đường thẳng HA.
	a/ Chứng minh rằng: EK = FN.
	b/ Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA. Tỡm điều kiện của tam giỏc ABC để EF = 2AI.
-----------------------Hết-----------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM chọn học sinh năng khiếu 
MễN: TOÁN 7
========================================
Cõu
Phần
Nội dung cần trỡnh bày
Điểm
1
(6đ)
a 1,5
(x – 1)3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 
1.5
b
1,5đ
 Điều kiện: x 
=> => (Thỏa món điều kiện)
Vậy x = 1 hoặc x = 3.
1.5
c
1,5đ
x - 3 = 0 Điều kiện x 0 
=> = 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa món điều kiện)
Vậy x = 0 hoặc x = 9
1.5
d
1,5đ
12x = 15y = 20z => => 
=> x = 20; y = 16; z = 12
1.5
2
(4đ)
a
2đ
b
2đ
a) 
b) = 
 =
 =
 = 10( 3n -2n-1)
Vậy 10 với mọi n là số nguyờn dương.
1 
1
1
1
3
(3.5đ)
a, 
2đ
Ta cú 25 = 32 1 (mod31) => (25)402 1 (mod31) 
=> 22011 2 (mod31). Vậy số dư khi chia 22011 cho 31 là 2.
2
b
1,5đ
Vỡ a nguyờn dương nờn ta cú 4a 1 (mod3) => 4a + 2 0 (mod3)
Mà 4a + 2 0 (mod2) => 4a + 2 6
Khi đú ta cú 4a + a + b = 4a + 2 + a +1 + b + 2007 – 2010 6
Vậy với a, b là cỏc số nguyờn dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 thỡ 4a + a + b chia hết cho 6
0,5
0,5
0,5
4 
2.5đ
Cho 2 đa thức 
 P = x + 2mx + m và
 Q = x + (2m+1)x + m
 Tìm m biết P (1) = Q (-1)
P(1) = 12 + 2m.1 + m2
 = m2 + 2m + 1
Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2
 = m2 – 2m 
Để P(1) = Q(-1) thì m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4
1
1
0.5
5
(4đ)
0.5đ
Vẽ hỡnh và GT-KL đỳng, đẹp
0,5
a
2.5
Chứng minh KAE = HBA ( ch – gn) => EK = AH
Chứng minh NFA = HAC ( ch – gn) => FN = AH
Suy ra EK = FN 
1
1
0.5
b
1đ
Chứng minh KEI = NFI ( c.g.c) => EI = FI = 
Mà AI = (gt) => AI = EI = FI => IEA = IAE và IAF = IFA 
=> EAF = 900 => BAC = 900 
Vậy EF = 2AI khi tam giỏc ABC vuụng tại A
0,5
0,5
Ghi chỳ: Đỏp ỏn trờn chỉ là một trong những cỏch làm đỳng, nếu học sinh làm đỳng bằng cỏch khỏc cho điểm tối đa
Giỏo viờn ra đề
Lờ Minh Quảng