Đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 8 THCS năm học 2012 - 2013 môn: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề
Đề chính thức
Đề thi có: 01 trang
Câu 1 (4 điểm)
Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để .
Câu 2 (4 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức P = . Biết .
	b) Chứng minh rằng chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Câu 3 (3 điểm)
a) Cho các số a, b, c thỏa mãn: a(a – b) + b(b – c) + c(c – a) = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a3 + b3 + c3 – 3abc + 3ab – 3c + 5. 
b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 và thỏa mãn . 
Chứng minh rằng .
Câu 4 (7 điểm)
	Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC.
	a) Chứng minh D đối xứng với E qua IM.
	b) Tính số đo các góc IDM và IEM.
	c) Gọi O là giao điểm của IM và DE; P, Q thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B, C đến đường thẳng DE. Chứng minh EP = DQ.
	d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác BPQC là hình chữ nhật.
Câu 5 (2 điểm)
Giải phương trình: (8x – 4x2 – 1)(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1).
.......... Hết ..........
Họ và tên thí sinh:..SBD:
Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./.HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 THCS 
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN: TOÁN
Hướng dẫn chấm có: 04 trang
A. Một số chú ý khi chấm bài.
Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải. Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
B. Đáp án và thang điểm.
Câu 1 (4 điểm)
Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để .
a) ĐKXĐ: 
0,5đ
A = = 
1,5đ
b) Với ta có: A > 0 Û 1 – 2x > 0 Û x < 
1,5đ
Vậy, với x 0.
0,5đ
Câu 2 (4 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức P = . Biết .
	b) Chứng minh rằng chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
a) Ta có 
1,0đ
Vì nên x – 2y = 0 x = 2y. Khi đó P = (Vì )
1,0đ
b) Ta có 
1,0đ
Vì n là số nguyên nên và là các tích ba số nguyên liên tiếp. Suy ra và 
 với mọi số nguyên n.
1,0đ
Câu 3 (3 điểm)
a) Cho các số a, b, c thỏa mãn: a(a – b) + b(b – c) + c(c – a) = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a3 + b3 + c3 – 3abc + 3ab – 3c + 5. 
b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 và thỏa mãn . 
Chứng minh rằng .
a) Ta có a(a – b) + b(b – c) + c(c – a) = 0
.
1,0đ
Khi đó M = a3 + a3 + a3 – 3a3 + 3a2 – 3a + 5 = 3a2 – 3a + 5 = 3(a2 – a +) + 
= . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy GTNN của M bằng khi .
0,5đ
b) Ta có 
1,0đ
Do đó 
0,5đ
Câu 4 (7 điểm)
	Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC.
	a) Chứng minh D đối xứng với E qua IM.
	b) Tính số đo các góc IDM và IEM.
	c) Gọi O là giao điểm của IM và DE; P, Q thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B, C đến đường thẳng DE. Chứng minh EP = DQ.
	d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác BPQC là hình chữ nhật.
O
a) Vì DI và EI thứ tự là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của các tam giác vuông ADH và AEH nên DI = EI = (1)
Tương tự, ta cũng có DM = EM = (2)
Từ (1) và (2) suy ra IM là đường trung trực của DE, hay D đối xứng với E qua IM.
2,0đ
b) ∆DMC cân tại M nên ; cân tại I nên 
 = 900 (Vì AH BC).
.
Tương tự, ta cũng tính được .
2,0đ
c) Vì IM là đường trung trực của DE nên IM DE tại O.
 (vì cùng vuông góc với đường thẳng DE)
tứ giác BPQC là hình thang vuông, mà MB = MC nên OP = OQ.
Mặt khác, OE = OD nên OP – OE = OQ – OD hay EP = DQ.
2,0đ
d) Tứ giác BPQC là hình chữ nhật . Mà EP = DQ nên 
(cạnh huyền – cạnh góc vuông) cân tại A.
1,0đ
Câu 5 (2 điểm)
Giải phương trình: (8x – 4x2 – 1)(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1).
Nhận thấy x = - 1 không phải là nghiệm của phương trình.
Với x ≠ - 1, PT đã cho tương đương với . (*)
Ta có 
= (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 Û x = 1) (1)
Lại có: (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 Û x = 1) (2)
1,5đ
Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*).
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
0,5đ
- Nếu HS biến đổi PT đã cho thành PT tích: rồi chứng tỏ được PT: = 0 vô nghiệm. Từ đó suy ra PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 thì vẫn cho điểm tối đa.
- Nếu HS không chứng tỏ được PT: = 0 vô nghiệm thì trừ một nửa số điểm.