Đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 7 THCS năm học 2012 – 2013 Môn: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THUỶ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013
Đề chính thức
MÔN: TOÁN.
Thời gian: 120 phút không kể thời gian giao đề.
Đề thi có: 01 trang
Câu 1 (4 điểm): Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 
b) 
Câu 2 (4 điểm): Tìm x biết:
a) 
b) 
Câu 3 (4 điểm):
a) Cho . Chứng minh rằng: 
b) Cho biểu thức: . Tìm các giá trị nguyên của x để D có giá trị nhỏ nhất.
Câu 4 (6 điểm): 
Cho ABC cân tại A (), kẻ . Gọi I là giao điểm của BH và CK.
a) Chứng minh BHC = CKB;
b) Chứng minh IB = IC và ;
c) Chứng minh KH // BC.
d) Cho BC = 5cm, CH = 3cm. Tính chu vi và diện tích của AHB
Câu 5 (2 điểm): 
a) Cho 2n + 1 là số nguyên tố (;n > 2).Chứng minh rằng: 2n – 1 là hợp số.
b) Ba đường cao của một tam giác có độ dài lần lượt bằng 4;12; x.Biết rằng x là một số tự nhiên.Tìm x?
Hết
Họ và tên thí sinh:SBD:
Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./.
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THUỶ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7 THCS 
NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN: TOÁN.
Hướng dẫn chấm có: 04 trang.
A. Một số chú ý khi chấm bài:
Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải. Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
B. Đáp án và thang điểm:
Câu 1 ( 4 điểm): Tính giá trị của biểu thức:
a) 
1
= 
0,5
= 
0,5
b) =
0,5
 = 
0,5
 = 
0,5
 = 
0,5
Câu 2 (4 điểm):Tìm x biết:
a) 
b) 
a) 
0,75
0,5
TH1: 5 – 2x = 4
0,25
TH2: 5 – 2x = -4
0,25
Vậy hoặc 
0,25
b) 
0,5
1
0,25
Vậy x = 2
0,25
Câu 3 (4 điểm):
a) Cho . Chứng minh rằng: 
b) Cho biểu thức: . Tìm các giá trị nguyên của x để D có giá trị nhỏ nhất.
a) Cho . Chứng minh rằng: 
+Ta có: (1)
0.5
 + Từ (1) suy ra: 
0,5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Vậy:(ĐPCM)
0,75
0,25
b) Cho biểu thức: . Tìm các giá trị nguyên của x để D có giá trị nhỏ nhất.
+ Ta có: 
0,5
Nên D có GTNN khi và chỉ khi có GTNN. 
0,25
Xét 2 trường hợp:
TH1: Nếu x > 3 thì 
TH2: Nếu x < 3 thì 
Vậy để tìm GTNN của ta chỉ xét những giá trị x < 3.
0,5
Khi đó: đạt GTNN nếu x -3 là số nguyên âm lớn nhất nếu có thể(Do x nguyên và x – 3 < 0) 
Với x = 2 thì 
Vậy : GTNN của D là -6 khi x = 2
0.5
0,25
Câu 4 (6 điểm): 
Cho ABC cân tại A (), kẻ . Gọi I là giao điểm của BH và CK.
a) Chứng minh BHC = CKB;
b) Chứng minh IB = IC và ;
c) Chứng minh KH // BC.
d) Cho BC = 5cm, CH = 3cm. Tính chu vi và diện tích của AHB
a) BHC = CKB (Cạnh huyền – góc nhọn)
1
b) Theo câu a: BHC = CKB 
Do đó IBC cân tại I , suy ra: IB = IC
1
Lại có: (2) (Do ABC cân tại A)
Từ (1) và (2) suy ra: 
`1
c) Ta có: BHC = CKB HC = KB AK = AH AKH cân tại K
 (3)
Mặt khác: (4)
Từ (3) và (4) suy ra : 
Mà là hai góc đồng vị của hai đường thẳng KH và BC KH // BC
1
d) Từ BC = 5cm, CH = 3cm – Áp dụng định lí Pytago, ta tính được 
BH = 4cm.
Đặt AH = AK = x.
AHB vuông tại H, áp dụng định lí Pytago ta có:
42 + x2 = (x + 3)2 (cm)
AHB có: BH = 4(cm); AH = (cm); AB = (cm).
Chu vi của AHB là: BH + AH + AB = (cm)
Diện tích của AHB là : 
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
Câu 5 (2 điểm): 
a) Cho 2n + 1 là số nguyên tố (;n > 2).Chứng minh rằng: 2n – 1 là hợp số.
b) Ba đường cao của một tam giác có độ dài lần lượt bằng 4;12; x.Biết rằng x là một số tự nhiên.Tìm x?
a) Cho 2n + 1 là số nguyên tố (;n > 2).Chứng minh rằng: 2n – 1 là hợp số.
+ Xét tích P = (2n – 1).2n.(2n + 1)
Vì 2n – 1; 2n và 2n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp, mà trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 nên P chia hết cho 3.
Mặt khác: 2n + 1 là số nguyên tố (;n > 2) nên 2n + 1 không chia hết cho 3 và 2n không chia hết cho 3
Do đó 2n – 1 chia hết cho 3 (1)
0,5
+ Dễ thấy: 2n – 1 > 3 ( Vì ;n > 2) (2)
0,25
+ Từ (1) và (2) suy ra: 2n – 1 là hợp số (Đpcm)
0,25
b) Ba đường cao của một tam giác có độ dài lần lượt bằng 4;12; x.Biết rằng x là một số tự nhiên.Tìm x?
+ Gọi a; b; c là độ dài ba cạnh của tam giác tương ứng với các đường cao
bằng 4; 12; x.
0,25
+ Ta có: 4a = 12b = xc ( = 2S)
Suy ra: 
0,25
+ Theo BĐT tam giác : a –b < c < a + b nên:
Do nên x = 4 hoặc x = 5.
Vậy x = 4 hoặc x = 5
0,5
---------Hết----------