Đề thi chọn học sinh giỏi vòng huyện Phú Quốc năm học 2010 - 2011 môn: Toán

 UBND HUYỆN PHÚ QUỐC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2010 - 2011
 Môn: Toán
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6 điểm )
1) Chứng minh rằng M = 2 + 22 + 23 +  + 220 chia hết cho 15 ( 2 điểm )
2) Tìm tất cả các số nguyên tố p, sao cho p+8 và p+10 là các số nguyên tố (2 điểm )
3) Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số , sao cho: - =1980 ( 2 điểm )
Bài 2: (5 điểm) 
cho biểu thức: 
a/ Rút gọn Q với a > 0, a 1 và a4
b/ Tìm a để Q=-1
c/ Tìm a để Q > 0
Bài 3: (3 điểm)
 Tìm x, biếtt: 3x +1 - + 6 = 0 	
Bài 4: (6 điểm)
	Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; R) có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I và I khác O.
Chứng minh: IA . IC = IB . ID
Vẽ đường kính CE, chứng minh ABDE là hình thang cân. 
Suy ra: AB2 + CD2 = 4R2 và AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 8R2
Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minhL AB = 2.OM
Từ A và B vẽ các đường thẳng vuông góc đến CD và lần lượt cắt BD tại F, cắt AC tại K. Chứng minh: A, B, K, F là bốn đỉnh của một tứ giác đặc biệt.
...........................Hết
UBND HUYỆN PHÚ QUỐC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2010 - 2011
 Môn: Toán
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 6 điểm )
1) Chứng minh rằng M = 2 + 22 + 23 +  + 220 chia hết cho 15 ( 2 điểm )
Ta có: M = 2+22+23 +  + 220 
 = ( 2+22+23+24 ) + ( 25+26+27+28 ) +  + ( 217+218+219+220 ) (0,75 điểm )
 = 2.15 + 25.15 +  + 217 .15	 (0,5 điểm )
 = 15 ( 2 + 25 + 217 )	 	 (0,5 điểm )
Vậy M chia hết cho 15 	 (0,25 điểm )
2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p+8 và p+10 là các số nguyên tố (2 điểm )
* Với p= 2 p + 8 và p + 10 là các hợp số ( Không TMĐK bài toán ) (0,25 điểm )
* Với p= 3 p + 8 và p + 10 là các số nguyên tố ( TMĐKbài toán ) 	 (0,25 điểm )
* Với p = 3k + 1 ( k N, k chẵn ) 
 p + 8 = 3k + 9 3 là hợp số	(Không TMĐK bài toán )	 	 (0,5 điểm )
*Với p = 3k + 2 (k N, k lẽ ) 
 p + 10 = 3k + 12 3 là hợp số	(Không TMĐK bài toán )	 (0,5 điểm )
Vậy với p = 3 thì p + 8 và p + 10 là các số nguyên tố	 (0,5 điểm )
3) Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số , sao cho: - =1980 ( 2 điểm )
- = 1980 	 (0,25 điểm )
 	 (10a+b+10b+a)(10a+b-10b-a) =1980 (0,25 điểm )
 11(a+b).9(a-b) =1980	 (0,25 điểm )
 99(a+b)(a-b) =1980	 (0,25 điểm )
 (a+b)(a-b)	 =20	 (0,25 điểm )	
Do18 > a+ba-b >0 và a + b và a – b cùng tính chẵn, lẽ nên
	a+b=10 và a-b=2 , suy ra a=6 ;b=4 	 (0,5 điểm )
	Vậy số cần tìm là 64	 (0,25điểm)	
Bài 2: (5 điểm)
a/ 
b/ Q = - 1 với (0,5 đ)
c/ Q > 0 với 
Vậy 
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x, biết: 3x +1 - + 6 = 0 	
	3x +1 - 	(0,25 điểm)
	3x +1 - (1)	(0,25 điểm)
Trường hợp 3x-1 tức là x 	(0,25 điểm)
Từ (1) ta có PT: 3x+1-3x+1+6=0 (PT này vô nghiệm) 	(0,75 điểm)
Trường hợp 3x-1 <0 tức là x < 	(0,25 điểm)
Từ (1) ta có PT: 3x+1 -1+3x +6=0 	 (0,5 điểm) 
 x = -1 (TMĐK x< ) 	 (0, 5 điểm)
Vậy x = -1 là giá trị cần tìm 	 (0,25 điểm)
Bài 4 (6 điểm)
5
Hình vẽ tốt
0,5
a
Chứng minh được: 
1
b
Chỉ ra được EA và EB cùng vuông góc với AC
EA // DB
ABDE là hình thang (1)
Chứng minh được: (2)
Từ (1) và (2) ABDE là hình thang cân.
1
* Tam giác vuông EDC có:
ED2 + CD2 = EC2 = = 4R2
Mà ED = AB nên AB2 + CD2 = 4R2 (3)
* Tam giác vuông EBC có BE2 + BC2 = EC2 = 4R2
Mà BE = DA nên DA2 + BC2 = 4R2 (4)
Cộng (3) và (4) ta được: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 8R2
1
c
Nêu được OM là đường trung bình của 
nên OM = hay ED = 2.OM
Mà ED = AB
AB = 2.OM
1
d
Chứng minh được AEDF là hình bình hành
0,5
Chứng minh được ABKF là hình thoi
1
	.Hết.