Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh năm học 2016 - 2017 môn thi: Toán lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN THI: TOÁN - LỚP 12
Ngày thi: 
Thời gian làm bài phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 ( điểm) 
1) Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng .
2) Tìm các giá trị của tham số để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 
Câu 2 ( điểm)
1) Giải phương trình 
2) Giải phương trình .
3) Một nhóm học sinh gồm có 9 bạn nam, trong đó có bạn Hải và 4 bạn nữ trong đó có bạn Minh xếp vào 13 cái ghế trên một hàng ngang. Tính xác suất để giữa hai bạn nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn Hải và bạn Minh nêu ở trên không ngồi cạnh nhau.
Câu 3 ( điểm)
1) Giải phương trình .
2) Tính tích phân .
Câu 4 ( điểm)
1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng có phương trình và hai đường tròn ; Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng , tiếp xúc ngoài với đường tròn , đồng thời cắt tại hai điểm phân biệt mà . 
2) Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi, . Góc giữa và mặt đáy bằng ; góc giữa hai mặt phẳng và bằng ; khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng Gọi là trung điểm cạnh . Tính thể tích khối hộp đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
3) Trong không gian với hệ tọa độ , lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm , và cắt hai tia lần lượt tại hai điểm khác sao cho nhỏ nhất.
Câu 5 ( điểm) Cho các số thực không âm đôi một phân biệt . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
------ HẾT ------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: .............................................................Số báo danh:..................................
Giám thị 1 (Họ tên và ký)..........................................................................................................
Giám thị 2 (Họ tên và ký)..........................................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
HDC ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH
NGÀY THI 21/3/2017
MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG 
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)
Câu 
Hướng dẫn giải
Điểm
Câu 1
4.5đ
1.1. 
(2.5 điểm)
0. 5
Đặt , hàm số đã cho đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi hàm số nghịch biến trên 
0.5
Hàm số nghịch biến trên 
0.5
0.5
Kết luận.
0.5
1.2 
(2.0 điểm)
Ta có Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì 
0.5
Giả sử là hai điểm cực trị. 
Tính được hệ số góc của đường thẳng là 
0.5
Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng suy ra
0.5
Thử lại thỏa mãn.
0.5
Câu 2
4.5đ
2.1 
(1.5 điểm)
Điều kiện: 
Phương trình tương đương
 (1)
0.5
Đặt , phương tình (1) trở thành 
0.5
Giải được 
Suy ra (thỏa mãn).
Vậy là nghiệm của phương trình đã cho.
0.5
2.2
(1.5 điểm
.
Điều kiện: . 
Viết lại phương trình dưới dạng
0. 5
Đặt . Từ phương trình (1) ta có hệ:
 (2)
0.5
Hàm số là hàm nghịch biến
Do đó phương trình (2) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Nhận thấy y=1 là một nghiệm.
Với 
Vậy phương trình có nghiệm 
0.5
2.3
(1.5 điểm) 
Đánh số ghế trên hàng ngang theo thứ tự từ 1 đến 13. Các bạn nữ phải ngồi vào các ghế số 1,5,9,13.
Gọi A là biến cố: “Giữa hai bạn nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn Hải và bạn Minh không ngồi cạnh nhau”.
0.25
Xét các trường hợp
- Bạn Minh ngồi ở ghế 1
+ Số cách xếp 3 bạn nữ còn lại là 3!.
+ Có 8 cách xếp vị trí của Hải .
+ Có 8! cách xếp tám bạn nam vào các vị trí còn lại.
Suy ra số cách xếp là 3!.8.8!
- Bạn Minh ngồi ghế 13 cũng có số cách xếp là 3!.8.8!
0.5
- Bạn Minh ngồi ghế 5 (ghế 9 làm tương tự)
Có 3! cách xếp 3 bạn nữ, có 7 cách xếp vị trí của Hải, có 8! cách xếp 8 bạn nam còn lại
Suy ra số cách xếp là 3!.7.8!
0.5
0.25
Câu 3
4đ
3.1
(2.0 điểm)
Đặt 
Phương trình đã cho trở thành 
0. 5
Xát hàm số Có 
0. 5
Suy ra hàm số luôn đồng biến. Nên 
0.5
Ta có 
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm 
0.5
3.2
(2.0 điểm)
0.5
Đặt 
0.5
0.5
0.5
Câu 4
6đ
4.1
(2.0 điểm)
 có tâm , bán kính ; có tâm , bán kính 
Khẳng định tâm của đường tròn nằm trên đường thẳng qua và song song với , có phương trình 
0.5
Tính được đường tròn có bán kính 
0.5
Gọi . Sử dụng được hoặc 
 hoặc 
0.5
Kiểm tra cắt tại hai điểm phân biệt, ta có 
KL: Đường tròn 
0.5
4.2
(2.0 điểm)
Hạ suy ra góc = góc = (1) .
Góc = (2).
Hạ , .
Khẳng định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng 
0.5
Từ (1) suy ra Đáy là hình thoi nên 
Xét tam giác vuông , từ được 
Đặt Từ (2) suy ra 
0.25
Xét tam giác vuông 
Xét tam giác vuông 
0.5
 ; 
0.25
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường thẳng qua vuông góc với 
Mặt phẳng trung trực của cắt d tại thì là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
0.25
Bán kính cầu ngoại tiếp tứ diện là với 
Tính được ; 
Vậy 
0.25
4.3
(2.0 điểm)
Giả sử ().
Phương trình mặt phằng qua các điểm có dạng
0.5
Điểm nên Ta có 
0.5
Mà 
Dấu ‘=’ đạt được khi 
0.5
Vậy phương trình mặt phẳng cần lập là 
0.5
Câu 5
1đ
(1.0 điểm)
Không mất tính tổng quát, giả sử 
Đặt thì 
Đẳng thức xảy ra 
0.25
.
Đặt thì 
Xét hàm số 
0.25
Lập bảng biến thiên ta được Do đó 
0.25
Đẳng thức xảy ra khi Suy ra 
Kết hợp với (1), P nhỏ nhất khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 
0.25
20 điểm
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.
Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng.