Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp cụm năm học 2016 - 2017 môn thi: Toán lớp 12

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG
CỤM THPT LẠNG GIANG
–––––––––––––––––––––
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP CỤM 
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 19/02/2017
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
–––––––––––––––––––––––
Câu 1 (2 điểm) Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng 
Câu 2 (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị là đường cong và đường thẳng .
Tìm để đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt sao cho biểu thức 
 đạt giá trị nhỏ nhất với .
Câu 3 (2 điểm) Giải phương trình .
Câu 4 (2 điểm ) Cho , . Tính theo a, b.
Câu 5 (2 điểm) Giải hệ phương trình 
Câu 6 (2 điểm) 
Tính tích phân 
Câu 7 (1 điểm) Một hộp đựng 50 quả cầu được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 50. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8.
Câu 8 (4 điểm) Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc hạ từ xuống là trọng tâm của tam giác . Mặt phẳng hợp với mặt phẳng đáy góc 
Tính thể tích khối lăng trụ 
Gọi lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng và. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . 
Câu 9 ( 2 điểm) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Điểm nằm trên cạnh thỏa mãn, vuông góc với. Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy, hợp với đáy góc .
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
Mặt phẳng đi qua trung điểm của và song song với mặt phẳng, mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn . Tính bán kính đường tròn .
Câu 10 (1 điểm) 
Cho là các số thực dương thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
––––––––– HẾT–––––––––
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh..Số báo danh..
Giám thị 1 (Họ tên và chữ kí)... 
Giám thị 2 (Họ tên và chữ kí)...
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
NỘI DUNG
Điểm
1
Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng 
2 điểm
+ Điều kiện xác định của hàm số là 
+ Xét không thỏa mãn bài toán. 
0.5
+Xét hàm số trở thành 
và 
0.5
+ Để thỏa mãn bài toán ta có điều kiện 
0.5
+Rút ra được điều kiện là .
0.5
2 
Cho hàm số có đồ thị là đường cong và đường thẳng .
Tìm để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất với .
2 điểm
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d:
0.25
+Điều kiện để có hai giao điểm là phương trình có hai nghiệm phân biệt khác hay 
0.25
+ Giả sử các hoành độ giao điểm là . Ta có . 
Ta có .
0.5
+. 
0.5
+ Dấu bằng xảy ra khi 
0.5
3
Giải phương trình .
2 điểm
Phương trình tương đương
0.5
0.5
Với 
0.5
Với 
Kết luận: phương trình có nghiệm ; 
0.5
4
Cho , . Tính theo a, b. 
2 điểm
+ Ta có .
+ Giả sử tồn tại ba số sao cho 
0.5
+ Vì 2, 5 và 7 là các số nguyên tố cùng nhau nên 
0.5
+ Do đó 
0.5
+ Vậy 
0.5
5
Giải hệ phương trình 
2 điểm
 Phương trình (1) tương đương 
Giả sử . 
Phương trình (*) có dạng 
Ta luôn có . Do đó (*) xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng.
Khi đó 
0.5
Thay vào phương trình (2) ta được 
Điều kiện: 
Đặt . Khi đó ta có hệ phương trình 
Trừ theo vế hai phương trình ta được 
0.5
Xét hàm số trên . Ta dễ dàng thấy đồng biến trên .
Khi đó 
0.5
Xét hàm số trên .
Ta có 
Do nên là hàm số đồng biến trên . 
Do đó có tối đa 1 nghiệm. Như thế phương trình có tối đa 2 nghiệm.
Mặt khác , vì vậy phương trình (3) có đúng hai nghiệm .
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm và 
0.5
6
Tính tích phân 
2 
điểm
0.5
Đặt với . Đổi cận: , .
0.5
Ta có 
0.5
.
0.5
7
Một hộp đựng 50 quả cầu được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 50. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8.
1 điểm
Có cách lấy ra 3 quả cầu từ hộp đã cho.
Chia 50 quả cầu trong hộp thành 4 nhóm:
+ Nhóm I: gồm 25 quả cầu mang số lẻ
+ Nhóm II: gồm 13 quả cầu mang số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4.
+ Nhóm III: gồm 6 quả cầu mang số chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8.
+ Nhóm IV: gồm 6 quả cầu mang số chia hết cho 8.
0.5
Để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số không chia hết cho 8 thì có 4 trường hợp sau xảy ra:
1) 1 quả thuộc nhóm I, 2 quả thuộc nhóm II: có cách lấy.
2) 2 quả thuộc nhóm I, 1 quả thuộc nhóm II: có cách lấy.
3) 2 quả thuộc nhóm I, 1 quả thuộc nhóm III: có cách lấy.
4) 3 quả thuộc nhóm I: có cách lấy.
Vậy xác suất cần tính là 
0.5
8
Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc hạ từ xuống là trọng tâm của tam giác . Mặt phẳng hợp với mặt phẳng đáy góc 
Tính thể tích khối lăng trụ 
Gọi lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng và. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . 
4 điểm
a) Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC, B’C’.
G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta chứng minh được góc giũa hai mặt phẳng và là góc giữa hai đường thằng thẳng và hay là góc giữa và bằng 
0,5
Tính được 
0.5
 (đvdt)
0.5
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là
 (đvtt)
0,5
b)
Kẻ Ax song song với CI
Kẻ GH vuông góc với Ax tại H
Kẻ GK vuông góc với A’H tại K
Ta chứng minh được 
 mà 
Suy ra 
1
Tính được , 
Vậy .
1
9 
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Điểm nằm trên cạnh thỏa mãn, vuông góc với. Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy, hợp với đáy góc .
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
Mặt phẳng đi qua trung điểm của và song song với mặt phẳng, mặt phẳng cắt theo giao tuyến là đường tròn . Tính bán kính đường tròn .
2 điểm
a) 
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Gọi I là trung điểm của AB, K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB
Dựng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
Dựng đi qua K và vuông góc với (SAB)
 cắt tại J. Suy ra J là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
0.5
Tính được (đvdt)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB 
Bán kinh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là
0.5
b) Gọi M là trung điểm của SA
Khoảng cách từ M đến (ABCD) bằng 
Khoảng cách từ J đến mặt phẳng (P) bằng 
0.5
Bán kính đường tròn là
0.5
10
Cho là các số thực dương thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
1 điểm
Theo giả thiết .
0.25
Ta có:
.
.
Suy ra 
0.5
Xét hàm số với tìm được giá trị nhỏ nhất của là khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của là đạt được khi .
0.25