Đề thi chọn học sinh giỏi trường năm học 2006–2007 môn Toán – Lớp 7

Phòng GD-ĐT Đức thọ
Trường THCS Hoàng Xuân Hãn
Đề thi chọn học sinh giỏi trường năm học 2006–2007
Môn Toán – Lớp 7. Thời gian làm bài:90 phút
Câu1: Cho: a + b + c = 2007 và 
 Tính: S = .
Câu2: Tìm 3 phân số tối giản. Biết tổng của chúng bằng , tử số của chúng tỉ lệ thuận với: 5 ; 7 ; 11, mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với: .
Câu3: Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn đẳng thức: 2x2 + 3y2 = 77.
Câu4: Tìm x biết rằng: .
Câu5: Cho tam giác ABC có .Dựng ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABD và ACE
a) Gọi M là giao điểm của BE và CD. Tính éBMC.
b) Chứng minh rằng: MA + MB = MD.
c) Chứng minh: éAMC = éBMC.
d) áp dụng các kết quả trên giải bài toán sau: Dựng điểm I trong tam giác NPQ (có các góc nhỏ hơn 120°) sao cho: éNIP = éPIQ = éQIN.
Đáp án và biểu điểm Toán 7 năm học: 2006 – 2007
Câu1: Từ: a + b + c = 2007 =>a = 2007 – (b + c); b = 2007 – (a + c); c = 2007 – (b + a)
S = = = 
Câu2: Gọi các phân số cần tìm là: 
Tử số của chúng tỉ lệ thuận với: 5; 7; 11 nên ta có a:c:e = 5:7:11 hay:
Mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với => mẫu số tỉ lệ thuận với 4; 5; 6=>
Đặt: = k; = p => a = 5k ; c = 7k ; e = 11k; b = 4p; d = 5p; f = 6p 
 Mà => 
=> ; ; 
Câu3: Từ 2x2 + 3y2 = 77 => => kết hợp với 2x2 là số chẵn =>3y2 là số lẻ => y2 là số lẻ => y2 { 1; 9; 25 }
+ Với y2 = 1 => 2x2 = 77 – 3 = 74 => x2 = 37 (KTM)
+ Với y2 = 9 => 2x2 = 77 – 27 = 50 => x2 = 25 => x =5 hoặc x = -5
+ Với y2 = 25 => 2x2 = 77 – 75 = 2 => x2 = 1 => x = 1 hoặc x = -1
Vậy ta có các trường hợp sau: 
x
1
-1
1
-1
5
-5
5
-5
y
5
5
-5
-5
3
3
-3
-3
Câu4: (1)
+ Với thì: (1) ú 2 – x + 2x +3 – x = -2 ú 0x = -7 ( KTM)
+ Với thì (1) ú 2 – x – 2x – 3 – x = -2 ú - 4x = - 1 => x = (TM)
+ Với x > 2 thì (1) ú x - 2 – 2x – 3 – x = -2 ú - 2x = 3 => x = (KTM) 
Vậy x = 
Bài5:
 a)Ta có: DADC = DABE (c-g-c) => éADC =éABE
 Gọi F là giao điểm của AB và CD. Xét DADFvàDBMF
 Có ; éAFD = éBFM ( đối đỉnh) 
 => éBMF =éFAD => éBMF = 60°=>éBMC =120°
 b)Trên tia MD lấy điểm P sao cho BM = MP 
 =>DBMP là tam giác đều => BP = BM; éMBP =60°
Kết hợp với éABD =60° => éMBA = éPBD => DPBD = DMBA (c-g-c) => AM = DP
AM + MB = DP + PM = DM
c) Từ: DPBD = DMBA => éAMB = éDPB, mà: éBPD = 120°=>éBMA =120° 
=> éAMC =120° =>éAMC = éBMC
d) áp dụng các kết quả trên, ta giải bài toán như sau: Dựng ngoài tam giác NPQ các tam giác đều NPA và NQB. Nối AQ và BP chúng cắt nhau tại I. Thì I là điểm thỏa mãn: éNIP = éPIQ = éQIN => Điểm I là điểm cần dựng