Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Nguyễn Phước Vệ

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2012 – 2013
 Môn thi : 	 TOÁN
 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 Ngày thi : 03/4/2013
Câu 1 (3,0 điểm).
Rút gọn biểu thức 
Tính giá trị biểu thức , biết rằng 
Câu 2 (4,0 điểm).	
	 a. Giải phương trình 
 b. Giải hệ phương trình:
Câu 3 (4,0 điểm).
a. Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên.
b. Cho s, t, x, y, z là các số nguyên và tổng s + t + x + y + z chia hết cho 5. Chứng minh rằng tổng s5 + t5 + x5 + y5 + z5 chia hết cho 5. 
Câu 4 (7,0 điểm).	
	1. Cho tam giác ABC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AB = 3AM, AC = 3AN. Biết diện tích tứ giác MNCB bằng 48 cm2.
	a. Tính diện tích tam giác AMN.
	b. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Tính diện tích tam giác BMO.
	2. Cho tam giác nhọn ABC, có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp là O. Đường trung trực của đoạn thẳng AH cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
	a. Tam giác AOC đồng dạng với tam giác ADH.
	b. Điểm A là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác DOE.
Câu 5 (2,0 điểm).	
Cho ba số thực dương a, b, c. 
Chứng minh rằng 
	Đẳng thức xảy ra khi nào?
===== Hết =====
BÀI GIẢI SƠ LƯỢC:
Câu 1:
Trước hết làm bài toán quen thuộc (TSLOP 10 CHUYÊN BẾN TRE):
 Cho x2-x-1=0 
Tính 
Cách tính: Tính x2; x3; x4 theo x
x2-x-1=0 => x2=x+1
 x3=x2x=(x+1)x=x2+x=x+1+x=2x+1
 x4=x3x=(2x+1)x=2x2+x=2(x+1)+x=3x+2 
Tương tự x5=5x+3; x6=8x+5
Thế vào A ta được A=1.
 Đây là bài tương tự:
x3=x2x=(4x-1)x=4x2-x=4(4x-1)-x=15x-4
x4=x3x=(15x-4)x=15x2-4x=15(4x-1)-4x=56x-15
x5=x4x=(56x-15)x=56x2-15x=56(4x-1)-15x=209x-56
B=209x-56-10(15x-4)-15(4x-1)+2x+1
 =x=2-
Câu 2: 
Giải phương trình (x-2)(x-1)(x+3)(x+6)=12x2
Ta có (x2+x-6)(x2+5x-6)=12x2
Xét x=0 không là nghiệm.
Xét x ≠0 chia hai vế cho x2,đặt ẩn phụ ta giải được bốn nghiệm .
b).. Nhân hai vế phương trình (1) cho 2 rồi trừ phương trình (2) ta có (x-y)3=8
ó x-y=2
Từ (1) ta có x2+y2=10. Thế y=x-2 vao giải ra x=-1 hoặc x=3=> y
Chú ý:
Có thể khử số hạng tự do của hệ phương trình đưa về phương trình đẳng cấp bậc hai 3x2+3y2-10xy=0(chú ý x-y≠0).
Đặt x/y=t giải ra t=3; t=1/3 ó x=3y; 3x=y
Từ đó giải ra x;y
Câu 3:	
a) Ta có: x2 = 2y + 2013. 
Chứng minh A = 2y + 2013 không phải là số chính phương
 *Nếu y < 0 thì A không thể là số nguyên
 Một số chính phương khi chia cho 3 hoặc 4 có số dư là 0 hoặc 1
 y = 0 được A = 2014 chia cho 4 dư 2
 y = 1 được A = 2015 chia cho 3 dư 2
 y = 2 được A = 2017 không là số chính phương
 => y 2 thì A không là số chính phương
 * y > 2 thì 2y chia hết cho 8 => A chia cho 8 dư 5
 Mà số chính phương lẻ chia cho 8 chỉ có thể có số dư là 1
 => y > 2 thì A không là số chính phương
 Vậy phương trình không có nghiệm nguyên
b) Đây là một ý từ một bài toán quen thuộc, với a1; a2; an và b1; b2; bn. là các số nguyên.
Chứng minh rằng a1+a2++an chia hết cho 30 khi và chỉ khi b15 + b25+.. + bn5 chia hết cho 30.
Chứng minh n5-n chia hết cho 30 với mọi n nguyên.
Câu 4: 1a) Tính SAMN.
 1b) Đặt SOMN=S1; SONC=S2; SOBC=S3; SOMB=S4. 
 Dễ thấy S3=9S1; S2=S4; 
	 	S1/S2=S4/S3=>S1S3=S2S4=>9S12=S42óS4=3S1
 S1+S2+S3+S4=48 ó S4/3+S4+3S4+S4=48
ó16S4/3=48 óS4=9.
2a) Chứng minh tam giác AOC đồng dạng tam giác ADH.
Đây là hai tam giác cân.
 DÂH=900-B; 
 2OÂC=2OCA=1800-AÔC=1800-2B=>OÂC=900-B
 =>DÂH =OÂC=>rAOC~rADH
 2b) Chứng minh A là tâm đường tròn bàng tiếprDOE.
 + Chứng minh DB là phân giác góc GDO.
 GDB=ABC (slt) do DE và BC cùng vuông góc AH.
 BDO=DAO+DOA=HAC+HCA
 =(900-ACB)+(900-BAC)
 =1800-(ACB+BAC)=ABC
=>GDB=BDO.
Tương tự EC là phân giác OEx.
A là tâm đường tròn bang tiếp DOE.
Câu 5: 
Cho ba số thực dương a, b, c. 
Chứng minh rằng 
Ta có (a+b)(a-b)2≥0 mọi a,b≥0 ó (a+b)(a2-2ab+b2)≥0
ó (a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b) óa3+b3≥a2b+ab2 ó
Tương tự ; 
Cộng từng vế ta có đpcm. Dấu bằng khi a=b=c.
+ Nếu dùng Bunhiacopxki thì đơn giản hơn;
Từ Bunhiacopxki =>
 ..//.