Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 vòng II năm học 2012 – 2013

 TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 VềNG II
NĂM HỌC 2012 – 2013
(Thời gian làm bài 150 phỳt)
 ..................................................................
Bài 1:(5 điểm) 
a) Tớnh giỏ trị biểu thức Q = 
 	Biết và 
b) Cho cỏc số nguyờn a, b, c 0 thoả món: 
Chứng minh rằng: là số chớnh phương
Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trỡnh: 
b) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: x( x + x + 1) = 4y( y + 1)
Bài 3: (4 điểm)
a) Cho a, b, c là cỏc số thực dương sao cho a c, b c. Chứng minh rằng 
b) Giả sử f(x) là một đa thức bậc 4 với hệ số nguyên.
Chứng minh rằng: Nếu f(x) với thì từng hệ số của f(x) cũng 	
Bài 4: (5 điểm)
Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tõm 
a) Tớnh tổng 
b) Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC; IM, IN thứ tự là phõn giỏc của gúc AIC và gúc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM
c) Tam giỏc ABC như thế nào thỡ biểu thức 
đạt giỏ trị nhỏ nhất?
Bài 5: (2 điểm)
Cho hỡnh vuụng MNPQ, lấy điểm E thuộc cạnh MQ, điểm F thuộc cạnh NP sao cho: ME = PF. Cỏc đường thẳng MF và NE cắt đường thẳng PQ lần lượt tại C và B. Kộo dài MB và NC cắt nhau tại A. Chứng minh rằng tam ABC là tam giỏc vuụng.
 .........................Hết......................
( Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.)
Họ và tờn thi sinh..........................................................Số bỏo danh.......................
 TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG TOÁN 9 
NĂM HỌC 2012 - 2013
Bài
Nội dung
Điểm
1
5,0đ
a
3,0đ
Ta cú 
Suy ra ==
 = =
Suy ra 25 – a2 = 16 ị a2 = 9 ị a= ±3
Mặt khỏc Q = ==
 == a – 2, với a ạ - 1
Với a = 3 thỡ P = 1
với a = - 3 thỡ P = - 5
0,5
0,75
0,5
0,75
 0,5
b
2,0đ
Ta cú: 
Vỡ a, b, c là cỏc số nguyờn 
 là số chớnh phương
0,5
0,5
 0,5
0,5
2
4,0đ
a
2,0đ
Ta cú:	
Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = 258
0,5
0,5
0,5
0,5
b
2,0đ
+ Phương trỡnh được biến đổi thành: (x + 1)(x+ 1) = (2y + 1)
+ Ta chứng minh (x + 1) và (x+ 1) nguyờn tố cựng nhau.
Vỡ nếu d = UCLN (x+1, x+ 1) thỡ d phải là số lẻ (vỡ 2y+1 lẻ)
 2 mà d lẻ nờn d = 1.
+ Nờn muốn (x + 1)(x+ 1) là số chớnh phương 
 Thỡ (x+1) và (x+ 1) đều phải là số chớnh phương
 Đặt: (k + x)(k – x) = 1 hoặc 
+ Với x = 0 thỡ (2y + 1)= 1 y = 0 hoặc y = - 1.(Thỏa món pt)
 Vậy nghiệm của phương trỡnh là: (x; y) =
0,5
0,5
0,5
 0,5
3
4,0đ
a
2,0đ
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Áp dụng bđt Cauchy Với x 0, y 0. Đẳng thức xảy ra x = y ta cú.
Cộng vế với vế hai bđt ta được bđt cần chứng minh: 
Đẳng thức xảy ra và 
0,5
0,5
0,5
0,5
b
2,0đ
Giả sử f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Do f(0) = e nên e 	
Mặt khác 
 => và 
 Vậy các hệ số của f(x) đều chia hết cho 7
0,5
0,75
0,5
0,25
4
5,0đ
a
1,5đ
Ta cú: ; 
Tương tự: ; 
0,5
0,5
0,5
b
1,5đ
Áp dụng tớnh chất phõn giỏc vào cỏc ABC, ABI, AIC:
 0,5
0,5
0,5
c
2,0đ
 Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx 
- Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ 
- Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD BC + CD 
-BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2
 AB2 + AD2 (BC+CD)2 => AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 => 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
- Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC 
 AB = AC = BC ABC đều 
Vậy GTNN của ABC đều 
0,5
 0,75
 0,25
 0,5
5
2,0đ
E
F
2,0đ
Áp dụng định lớ Talet ta cú : (1); 	 (2)	
Vỡ ME = PF (3)	
Từ (1); (2); (3) 	
Suy ra hai tam giỏc vuụng BMQ vàNCP đồng dạng với nhau
=> 	
Suy ra : ABC vuụng tại A	
0,5
0,5
0,25
0,75
Chỳ ý:
+ Hướng dẫn chấm này cú 04 trang, chấm theo thang điểm 20.
+ Điểm toàn bài là tổng cỏc điểm thành phần khụng làm trũn.
+ Bài số 4 và 5 phải cú hỡnh vẽ đỳng mới chấm.
+ Mọi cỏch làm khỏc đỳng cũng cho điểm tối đa tương ứng với từng nội dung
 của bài đú.