Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 (Có đáp án) - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT Thiệu Hóa

PHỎNG GD&ĐT THIỆU HểA
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG HUYỆN 
MễN TOÁN
(Thời gian làm bài: 150 phỳt)
Bài 1. (4,0 điểm)
1. Tớnh giỏ trị của biểu thức .
2. Tớnh giỏ trị biểu thức P = với .
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho x, y, z thoả món: xy + yz + xz = 1. Hóy tớnh giỏ trị biểu thức: 
A = 
Bài 3: (4.0 điểm)
1. Giải phương trình: 
2. Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố p sao cho là số tự nhiờn
Bài 4: (8,0 điểm) 
1. Cho nửa đường trũn (O) đường kỡnh AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. 
Trờn cung lấy điểm M tựy ý (M khỏc A và B), tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM, tia CO cắt d tại D.
a) Chứng minh rằng: NO ^ AD
b) Chứng minh rằng: CA. CN = CO . CD. 
c) Xỏc định vị trớ điểm M để (2AM + AN) đạt giỏ trị nhỏ nhất. 
2. Cho nhọn. Chứng minh rằng Cos2A + Cos2B + Cos2C < 1
Bài 5 (2,0 điểm): Cho x, y, z là ba số thực dương. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN 
Bài
Nội dung
Điểm
1
(2,0 đ)
1. Ta cú
.
2. Ta cú 
Khi đú 
Suy ra P = 
 ( do ). Vậy P = .	
1,0đ
0,5đ
0,5đ
2
(2 đ)
1. Từ: xy + yz + xz = 1
 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) 
= (x + z)(x + y)
Tương tự: 1 + y2 = xy + yz +xz +y2 = y.(x+ y) +z .(x +y) 
 = ( x+ y).(y+z)
 1 + z2 = xy + yz + xz + z2 =x .( y + z)+ z. (y + z) = ( y +z). ( x +z)
= 
0,5đ
0.5đ
0.75đ
0.25đ
3
1)
(2,0đ)
2) 
2đ
1) (1)
 	Điều kiện xác định: 
(1) 
 	 (loại) hoặc (TMĐK) 	 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm .
2. là số hữu tỷ 
. Thế vào (1) ta được
Giải pt tỡm được (loại) và 
Với . Vậy 
1đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4
(8đ)
a)( 2,0đ)
 Vỡ AB (d) tại B( tiếp tuyến vuụng gúc với đường kớnh tại tiếp điểm).
Vỡ C là trung điểm của AM OC AM
tại C OC AM.
NAD cú AB, DC là hai đường cao cắt nhau tại O O là trực tõm NOAD 
(2.0đ)
Xột vuụng CAO và vuụng CDN cú = 
 đồng dạng(g.g)
(2.0đ) 
Xỏc định vị trớ điểm M để (2AM + AN) đạt giỏ trị nhỏ nhất. 
Ta cú: 2AM + AN ³ 2 (BĐT Cauchy – Cụsi)
Ta chứng minh: AM. AN = AB2 = 4R2. (1)
Suy ra: 2AM + AN ³ 2 = 4R
Đẳng thức xẩy ra khi: 2AM = AN ị AM = AN/2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AM = R ị gúcAOM vuụng tại O 
ị M là điểm chớnh giữa cung AB 
1đ
1đ
2đ
1đ
1đ
2.(2.0 đ) Kẻ 3 đường cao AD, BE, CF
 (g.g)
 (c.g.c)
Tương tự ; 
1đ
1đ
Bài 5
2,0đ
Ta cú 
Tương tự suy ra 
Đặt: 
Do đú . Đẳng thức xảy ra . Vậy GTNN của S là 
1đ
1đ
Chỳ ý: - Học sinh làm theo cỏch khỏc mà đỳng vẫn cho điểm tối đa
	 - HS khụng vẽ hỡnh hoặc vẽ sai hỡnh thỡ khụng chấm điểm bài hỡnh