Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD & ĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
 HÀ TĨNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 -2013
 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN
 (Đề có 01 trang) 	 Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1. a) Tính giá trị biểu thức: , biết
, .
b) Giải phương trình: 
 .
Bài 2. a) Giải hệ phương trình:
 .
 b) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên
	 .
Bài 3. Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:
 . 
Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD.
Chứng minh AH vuông góc với BH.
Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng. 
Bài 5. Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: .
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ............................................................................................ Số báo danh: ............................
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2012 -2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Bài
Đáp án
Điểm
 Bài 1
 5,0 điểm
a) 2.5 điểm Ta có M = (x – y)(x2 + xy + y2 + 3) = x3+ 3x – (y3 + 3y).
0.5
Áp dụng ta có:
0,75
0,75
 Vậy M = .
0.5
b) 2,5 điểm 
Ta thấy không thoả mãn phương trình.
0.5
Với , ta có pt đã cho (1)
Đặt thì . Pt (1) trở thành 
1.0
.
Chỉ có thoả mãn, khi đó (t/m). Vậy pt có một nghiệm là x = 1.
1.0
 Bài 2
5,0 điểm
a) 2.5 điểm
Hệ pt . Đặt , hệ trở thành .
0.5
.
1.0
Từ (1), suy ra (2) có vế trái , dấu bằng xảy ra a2(1-a) = y2(1- y) = 0.
Kết hợp ta có hoặc . Thay vào ta có nghiệm ; .
1.0
b) 2,5 điểm Điều kiện có nghĩa là a, b, c .
Ta có P = , nên P nguyên S = nguyên.
0.5
Không mất tính tổng quát, giả sử 1 < 3 hay S < 3.
Hơn nữa ta có S > 0. Do đó S = 1 hoặc S = 2.
0,5
+) S = 1. Ta có 1 = 1 a =1 hoặc a = 2.
 Với a = 1 1 = 1 ++- +- = 0 không xảy ra.
0,5
 Với a = 2 1 = ++-+- = . Suy ra > b < 4.
Từ đó b = 3. Thay vào được c = 5. Vậy a = 2, b = 3 , c = 5. 
0,5
+) S = 2. Ta có 2 = < < a =1. 
Thay vào được +- = 1 >1 b =1 loại vì không thỏa mãn b > a.
Kết hợp các trường hợp và do vai trò bình đẳng nên các số (a, b, c) cần tìm là:
(2,3,5), (2,5,3), (3,5,2), (3,2,5), (5,3,2), (5,2,3).
0,5
 Bài 3
2,5 điểm
Đặt thì x, y, z dương và 
0,5
 Ta có: 
0,5
. 
Dấu “=” xảy ra .
1,0
 Với x = y = z thì a = b = c hay tam giác ABC đều.
0,5
 Bài 4
5,0điểm
a) 2.5 điểm
Vẽ tia Bx // AC, cắt tia PD tại E.
Ta có BE = PC = BN.
0,5
Do nên B, H cùng thuộc đường tròn đường kính NE. Suy ra (1). 
1,0
Tương tự hai điểm A, H cùng thuộc đường tròn đường kính PN, suy ra (2).
 Từ (1) và (2) suy ra hay ta có .
1,0
b) 2.5 điểm Từ giả thiết suy ra nên I là điểm chính giữa của cung AIB của đường tròn đường kính AB.
1,0
Mặt khác, theo kết quả câu a thì tia HN là tia phân giác của và là góc nội tiếp chắn cung AIB của đường tròn đường kính AB, nên tia HN phải đi qua I.
Do đó 3 điểm H, N, I thẳng hàng.
1,5
 Bài 5
2,5 điểm
Ta có 
1,0
 .
Tương tự , .
1,0
Vậy 2F Dấu bằng xảy ra khi 
x = y = z =. Vậy giá trị nhỏ nhất của F là .
0,5
_____________ Hết ___________
 Ghi chú: Mọi cách giải đúng và gọn đều cho điểm tối đa tương ứng.