Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán lớp 9

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2015-2016
Khóa ngày 23 tháng 3 năm 2016
Môn thi: TOÁN
Họ và tên:..
SỐ BÁO DANH:
LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề gồm có 01 trang
Câu 1 (2.0 điểm) 
Cho biểu thức: với .
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tìm để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu 2 (3.0 điểm) 
a. Cho phương trình: (tham số m). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .
b. Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (2.5 điểm) 
 	Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I), cắt (O) tại (khác A), là điểm đối xứng với qua . Gọi là điểm chính giữa của cung , và lần lượt cắt (O) tại và .
a. Chứng minh . Từ đó suy ra và là các tam giác vuông. 
b. Chứng minh cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 4 (1.5 điểm) 
 	Cho thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 
Câu 5 (1.0 điểm) 
 	Tìm tất cả các số nguyên dương và thỏa mãn điều kiện: 
-------------------hÕt-------------------
SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2015-2016
Khóa ngày 23 tháng 3 năm 2016
Môn thi: TOÁN
LỚP 9
Đáp án này gồm có 04 trang
YÊU CẦU CHUNG
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.
Câu
Nội dung
Điểm
1
Cho biểu thức: với .
a. Rút gọn biểu thức P.
1,0
Với ta có: 
0,25
0,25
0,25
Kết luận: 
0,25
b. Tìm để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất. 
1,0
Với ta có: 
0,50
Dấu ‘=’ xãy ra khi và chỉ khi 
Kết luận: P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 
0,50
2
a. Cho phương trình: (tham số m). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 
1,50
Ta có: ∆’
0,25
Phương trình có hai nghiệm ∆’
0,25
Theo định lý Viet ta có: 
Theo bài ra: 
0,25
0,25
Kết luận: 
0,50
b. Giải hệ phương trình: 
1,50
ĐKXĐ: 
0,25
Từ (1) ta có:
0,50
Thay vào (2) ta có: 
Dấu ‘=’ xãy ra 
0,25
Dấu ‘=’ xãy ra khi 
0,25
Do nên 
Kết luận: 
0,25
3
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I), cắt (O) tại (khác A), là điểm đối xứng với qua . Gọi là điểm chính giữa của cung , và lần lượt cắt (O) tại và .
a. Chứng minh . Từ đó suy ra và là các tam giác vuông. 
1,50
0,25
Ta có: (AM là phân giác góc )
 (1)
0,25
 (2) (tính chất góc ngoài tam giác)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra tam giác MBI cân tại M, do đó MI = MB.
Tương tự ta có: MI = MC.
0,25
Xét tam giác BIJ ta có: tam giác BIJ vuông tại B 
Tương tự: tam giác CIJ vuông tại C. 
Vậy và là các tam giác vuông tại B và C.
0,50
b. Chứng minh cùng nằm trên một đường tròn.
1,0
Ta có: ; 
0,25
Mà (N là điểm chính giữa cung )
0,25
Mặt khác và .
Hơn nữa I và F nằm về cùng một phía so với JE.
Kết luận: cùng thuộc một đường tròn.
0,50
4
Cho thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
1,5
Trước hết ta chứng minh với thì 
Thật vậy: 
 (do a > 0)
0,50
Từ (*) 
Tương tự: 
Cộng vế theo vế ta được: 
0,25
Ta chứng minh với thỏa mãn thì 
Thật vậy:
 (do )
0,50
5
Từ (1) và (2) suy ra 
Dấu ‘=’ xãy ra khi . 
Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 1 khi .
0,25
Tìm tất cả các số nguyên dương và thỏa mãn điều kiện 
1,0
Từ điều kiện 
Xét phương trình bậc hai : (ẩn số n)
0,25
Để phương trình (1) có nghiệm nguyên dương thì phải là một số chính phương.
Ta có 
0,25
Mặt khác 
Do đó 
Khi đó: 
Suy ra (1) chỉ có nghiệm nguyên dương khi hoặc 
0,25
Nếu thì vô nghiệm.
Nếu thì 
Thử lại m = 2 và n = 4 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Kết luận : m = 2 ; n = 4.
0,25