Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Bảng A - Năm học 2014-2015 - Sở GD & ĐT Nghệ An (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
Đề chính thức
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: TOÁN - BẢNG A
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4 điểm):
Cho hai số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: .
 Chứng minh rằng và đều là các số chính phương.
b. Tìm số tự nhiên sao cho số 2015 có thể viết được thành tổng của hợp số nhưng không thể viết được thành tổng của hợp số.
Câu 2. (5 điểm): 
 	 a. Giải phương trình: .
 	 b. Giải hệ phương trình: 
Câu 3. (3 điểm):
 	Cho là các số thực dương thỏa mãn: .
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Câu 4. (6 điểm):
 	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) lấy điểm M (M không trùng với B, C). Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
Ba điểm D, E, F thẳng hàng.
.
Câu 5. (2 điểm):
	Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng cm chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho.
..............Hết..............
Họ và tên thí sinh.............................................Số báo danh...........
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2014 – 2015
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN – BẢNG A	
( Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
4.0đ
a
2.0đ
 Ta có : a2 +a = 2b2+b => a2 +a – b2 – b= b2 
 (1)
0.5
 Mặt khác gọi d là ƯCLN 
0.5
=> và là hai số nguyên tố cùng nhau (2)
0.5
Từ (1) và (2) => và đều là các số chính phương
0.5
b
2.0đ
Giả sử trong đó là các hợp số 
Theo bài ra ta có:
+Mỗi số hạng không thể viết thành tổng hai hợp số (1)
+Tổng hai hợp số bất kỳ không thể viết thành tổng 3 hợp số (2)
0.5
 Do 2015 là số lẻ nên tồn tại ít nhất một hợp số lẻ, hợp số lẻ đó phải bằng 9 vì 1;3;5;7;11;13 không phải là hợp số 
Nếu có hợp số lẻ ai15 thì với là số chẵn nên ai bằng tổng hai hợp số - trái với (1)
Mặt khác không có quá 1 hợp số bằng 9 vì nếu có hai hợp số bằng 9 thì 9+9 = 6+6+6 trái với (2)
0.5
Do đó 
Với là các hợp số chẵn =>(3)
=> các hợp số phải nhận các giá trị 4 hoặc 6 
Vì nếu là hợp số chẵn và thì = 4+(- 4) là tổng hai hợp số , trái với (1)
Số hợp số bằng 6 chỉ có thể là 1 vì nếu có hai hợp số bằng 6 thì 
6+6=4+4+4 trái với (2) 
Giả sử 
0.5
 => (n-2)4= 2000 => n = 502
Vậy số tự nhiên cần tìm là n = 502
0.5
Câu 2
5.0đ
a
2.5đ
ĐKXĐ 
0.25
Đặt ĐK a; b 0
0.25
 ta có 
0.5
Với - Loại
0.5
Với 
0.5
 TM ĐK
0.5
2b 2.5đ
0.5
x2y+ xy2+y = 0 ó y(x2+xy+1)=0 
0.5
Với 
0.5
Với
 có PTVN
0.5
Vậy hệ pt có nghiệm là 
0.5
Câu 3
3.0đ
Ta có > 0
0.5
Tương tự 
0.5
0.5
Vì abc=1 
0.5
0.5
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy giá tri lớn nhất của P là tại 
0.5
Câu 4
6.0đ
4a
3 đ
Gọi I, H, K lần lượt là giao điểm của MD, ME, MF với BC, CA, BA khi đó các tứ giác MIBK, MCHI, ABMC là các tứ giác nội tiếp 
07,5
Mà 
0,75
=> Ba điểm H, I, K thẳng hàng
0,5
Mặt khác trong các tam giác MEF, MDF có KH, KI là các đường trung bình 
0,5
=> KH// EF, KI // FD => Ba điểm F , D, E thẳng hàng
0,5
4b
3đ
 (1)
0,5
Tương tự (2)
0,5
Mặt khác => 
=> (3)
0,5
Từ (1), (2), (3) ta có 
0,5
 => mà MF= 2MK, ME=2MH, MD=2ME
0,5
0,5
Câu 5
2.0đ
Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng 6cm . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC => MN, MP, NP chia tam giác ABC thành 4 tam giác đều bằng nhau. 
0,5
Gọi O, O1, O2, O3 ;lần lượt là tâm các tam giác đều MNP, AMN, BMN,CMN.
 Từ O, O1, O2, O3 vẽ các đoạn thẳng vuông góc đến các cạnh của tam giác đều MNP, AMN, BMN,CMN (hình vẽ)
0,5
Khi đó tam giác ABC được chia thành 12 tứ giác bằng nhau và mỗi tứ giác đều nội tiếp đường tròn có đường kính bằng nhau và bằng O1A
Mà O1A= AP=
0,5
Mặt khác có 121 điểm thuộc 12 tứ giác trên nên theo dirichle có một tứ giác chứa ít nhất ( điểm)
=> ĐPCM
0,5
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
 - Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần, không làm tròn.