Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh lớp 10 THPT năm học 2012-2013 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT 
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)
Câu 1. 
 a) Giải bất phương trình
 b) Giải hệ phương trình: 
Câu 2.
 Tìm tất cả các giá trị của tham số để hệ phương trình sau có nghiệm
Câu 3.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho điểm và các đường thẳng . Viết phương trình đường tròn có tâm sao cho cắt tại và cắt tại thỏa mãn 
Câu4. 
Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và .
 Tính và .
 2. Cho a,b thỏa mãn: 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 5. 
Cho với a,b thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên đôi một phân biệt và sao cho: .
 Tìm tất cả các bộ số (a;b).
 _____________ Hết _____________
 - Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
 - Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: 
SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT
 NĂM HỌC 2012-2013
 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 
 (Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
Câu1
Đáp án
Điểm
 3 điểm
Điều kiện: Đặt () thì Khi đó ta có
1.0
0.5
 (do ).
0.5
Với ta có 
Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là 
1.0
 3 điểm
 Điều kiện: 
0.5
Th1: không thỏa mãn
0.5
Th2: ta có:
 với t=x/y
 t=y hay 
0,5
 Thay vào (2): 
1
 Đối chiếu đk ta được nghiêm hệ là: 
 0.5
Câu2
Hệ đã cho tương đương với: 
0,5
3 điểm
 Phương trình (2) (ẩn ) có nghiệm là 
0,5
Th1: ta có Suy ra thỏa mãn.
0,5
Th2: Phương trình (1) (ẩn ) không có nghiệm thuộc khoảng (*) là (1) vô nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều thuộc điều kiện là
 (B)
(với là 2 nghiệm của phương trình (1)).
 0.5
(A)(B) 
0,5
 Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) (ẩn ) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng hay (*) không xảy ra, điều kiện là Vậy tất cả các giá trị cần tìm là 
0,5
Câu3
3 điểm
Gọi hình chiếu của trên lần lượt là khi đó
0,5
Gọi là bán kính của đường tròn cần tìm ()
1
Theo giả thiết ta có: 
0,5
 (do ) ( do )
 0.5
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là 
 0.5
 4.a
3 điểm
Ta có: 
0.5
0.25
Theo giả thiết: 
0.25
0.5
Khi đó: 
0.25
0.5
0.5
0.25
4.b
3 điểm
C/M được : . ấu bằng xẩy ra khi: 
0.5
Áp dụng (1) ta có : 
0.5
 Mặt khác: (2)
0.25
 Mà: (3)
0.75
Từ (1) và (3) suy ra: .Dấu “=” xẩy ra khi: a=1 và 
 Vậy: Đạt được khi a=1 và .
0.5
2 điểm
 3 số f(m),f(n),f(p) hoặc cùng dương, âm hoặc có 2 số cùng dấu nên:
Th1: f(m),f(n),f(p) cùng bằng 7 hoặc -7 loại vì phương trình f(x)-7=0 có 3 nghiệm 
 phân biệt
0,5
Th2:và
Không mất tính tổng quát,giả sử m>n và ta có: m,n là nghiệm pt: và p là nghiệm pt: nên :
0,5
Th3: và,khiđó hoàn toàn tương tự ta có:
 hoặc 
 0,5
 Do m,n,p nên tìm được 4 bộ là: (a;b)=.
 0.5
Chú ý: Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tương ứng.