Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012 - 2013 môn Toán khối lớp 8

NGUYÔN LéC V¡N Hµ
Đề số 1 ®Ò chÝnh thøc
®Ò thi chän häc sinh giái
n¨m häc 2012-2013
M«n To¸n líp 8
Thêi gian lµm bµi 120 phót
C©u 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên):
 x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b) 
C©u 2. 
 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau: 
 b) T×m x; y biÕt: 
 x2 - y2 + 2x - 4y-10 =0 víi x,y nguyªn d­¬ng.
C©u 3: Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: 
C©u 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 b) Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2
C©u 5: 
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F.
a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm
Chứng minh : AFEN là hình thang cân
c) Tính : ANB + ACB = ?
M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của D ABC
để cho AEMF là hình vuông.
NGUYÔN LéC V¡N Hµ
Đề số ®Ò chÝnh thøc
2
®Ò thi chän häc sinh giái
n¨m häc 2012-2013
M«n To¸n líp 8
Thêi gian lµm bµi 120 phót
C©u 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
 a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x5 + x +1 
 c) x4 + 4 d) x- 3x + 4-2 với x > 0
C©u 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau: 
 a) 
 b) 4x – 12.2x + 32 = 0 
c) = ++ (x là ẩn số)
C©u 3: 
a) T×m sè d­ trong phÐp chia cña biÓu thøc cho ®a thøc .
 b) Tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = chia heát cho ña thøc 
C©u 4: 
a)Cho và . Chứng minh rằng : .
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :
 	P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .
C©u 5: 
Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF
	a) Chứng minhEDF vuông cân
 	b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
NGUYÔN LéC V¡N Hµ
Đề số ®Ò chÝnh thøc
3
®Ò thi chän häc sinh giái
n¨m häc 2012-2013
M«n To¸n líp 8
Thêi gian lµm bµi 120 phót
Bµi 1: (3 ®iÓm)
Cho biÓu thøc 
a) Rót gän A.
b) T×m x ®Ó A < -1.
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2: (4 ®iÓm)
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A= 
Bµi 3: (3 ®iÓm)
 Mét xe ®¹p, mét xe m¸y vµ mét « t« cïng ®i tõ A ®Õn B. Khëi hµnh lÇn l­ît lóc 5 giê, 6 giê, 7 giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h. Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe m¸y.
Bµi 4: (4 ®iÓm) 
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 
b) tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = chia heát cho ña thöùc 
Bài 5: (6®iÓm)
1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB. Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ NB.
CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K th¼ng hµng.
c) Khi M di chuyÓn gi÷a A vµ B th× kho¶ng c¸ch tõ K ®Õn AB kh«ng ®æi.
2) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ba ®­êng cao AA”, BB’, CC’ ®ång quy t¹i H. CMR: b»ng mét h»ng sè.
NGUYÔN LéC V¡N Hµ
Đề số ®Ò chÝnh thøc
4
®Ò thi chän häc sinh giái
n¨m häc 2012-2013
M«n To¸n líp 8
Thêi gian lµm bµi 120 phót
Bài 1: (4đ) 
a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = (víi x, y kh¸c 0)
b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết 
 A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng 
d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = 
Bài 2: (2đ) Giải các phương trình sau:
 a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 
 b) 
Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF
	a) Chứng minhEDF vuông cân
 	b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
	a/ DE có độ dài nhỏ nhất
	b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
NGUYÔN LéC V¡N Hµ
Đề số ®Ò chÝnh thøc
5
®Ò thi chän häc sinh giái
n¨m häc 2012-2013
M«n To¸n líp 8
Thêi gian lµm bµi 120 phót
Bài 1. Cho biÓu thøc: 
Rót gän A
TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt 4a2 + b2 = 5ab vµ a > b > 0
Bài 2
 a) Cho a + b = 1. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) 
 b) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 
 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
 c) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :
 A = 
Bài 3 
Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AN, BM, CP cắt nhau tại O. Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4,7,5
a) Tính NC biết BC = 18 cm
b) Tính AC biết MC - MA = 3cm 
c) Chứng minh 
Câu 4 ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S.
1, Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân.
2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
3, Chứng minh P là trực tâm SQR.
4, MN là trung trực của AC.
5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
NGUYÔN LéC V¡N Hµ
Đề số ®Ò chÝnh thøc
6
®Ò thi chän häc sinh giái
n¨m häc 2012-2013
M«n To¸n líp 8
Thêi gian lµm bµi 120 phót
Bài 1: ( 6 điểm )
a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 ³ x.‏‎y + x + y ‏‎( với mọi x ;y)
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 
Bài 2. (8đ) Cho hình vuông ABCD . Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC . Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh :
AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi .
AEF ~ CAF và AF2 = FK.FC
 c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi .
Bài 3 (3điểm): Tìm dư của phép chia đa thức 
 x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1
	Bài 4( 3điểm)
	Trong hai số sau đây số nào lớn hơn:
	a = ; b = 
NGUYÔN LéC V¡N Hµ
Đề số ®Ò chÝnh thøc
7
®Ò thi chän häc sinh giái
n¨m häc 2012-2013
M«n To¸n líp 8
Thêi gian lµm bµi 120 phót
Bài 1: ( 6 điểm )
a, Chứng minh rằng 	
b, Cho	 Tính 
Bài 2 : (8đ). Gäi H lµ h×nh chiÕu cña ®Ønh B trªn ®­êng chÐo AC cña h×nh ch÷ nhËt ABCD; M, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AH vµ CD.
Gäi I vµ O theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ IC. Chøng minh: 
TÝnh sè ®o gãc BMK?
c) Gäi P vµ Q lÇn l­ît lµ 2 ®iÓm thuéc ®o¹n BM vµ BC. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P vµ Q ®Ó chu vi tam gi¸c PHQ cã gi¸ trÞ nhá nhÊt?
Bài 3 (3điểm): 
 Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức: 
	Bài 4( 3điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: yx2 +yx +y =1.
NGUYÔN LéC V¡N Hµ
Đề số ®Ò chÝnh thøc
8
®Ò thi chän häc sinh giái
n¨m häc 2012-2013
M«n To¸n líp 8
Thêi gian lµm bµi 120 phót
Bài 1: ( 6 điểm )
a)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
b) Cho B = 
Rút gọn biểu thức B, biết a + b + c = 0.
Bài 2 : (6 điểm). Cho Tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M trên cạnh BC. Từ M kẻ ME vuông góc với AB, kẻ MF vuông góc với AC ( E AB ; F AC )
a. Chứng minh: FC .BA + CA . B E = AB2 và chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí của M.
b. Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất.
c. Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định
Bài 3 (5 điểm): 
a) Cho a ³ 4; ab ³ 12. Chứng minh rằng C = a + b ³ 7 
	b) Chứng minh rằng số:
	a = không phải là một số nguyên.
Bài 4( 3điểm). Cho hai bất phương trình: 
3mx-2m > x+1 (1)
m-2x < 0 (2)
	Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng một tập nghiệm 
NGUYÔN LéC V¡N Hµ
Đề số ®Ò chÝnh thøc
9
®Ò thi chän häc sinh giái
n¨m häc 2012-2013
M«n To¸n líp 8
Thêi gian lµm bµi 120 phót
Bài 1: ( 5 điểm )
a) Cho a, b > 0 và a+b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	M = (1+ )2 + (1+ )2
b) Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = .
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 .
Bài 2 : (8đ). 
Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của C qua P. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
a) Tứ giác AMDB là hình gi?
b). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD, AB. 
Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
d) Gi¶ sö CP BD vµ CP = 2,4 cm, . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.
Bài 3 (4điểm): Giải phương trình:
	1) 	(x+1)4 + (x+3)4 = 16
	2) 	
Bài 4( 3 điểm). 
a. Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120
b. Chứng tỏ đa thức A chia hết cho 24
NGUYÔN LéC V¡N Hµ
 ®Ò chÝnh thøc
Đề số 10
®Ò thi chän häc sinh giái
n¨m häc 2012-2013
M«n To¸n líp 8
Thêi gian lµm bµi 120 phót
Bài 1: ( 4 điểm ). Chứng minh rằng:
 85 + 211 chia hết cho 17
b) 1919 + 6919 chia hết cho 44
Bài 2 : (6 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF.
1.Chứng minh CE vuông góc với DF.
2.Chứng minh MAD cân.
3.Tính diện tích MDC theo a
Bài 3 (5 điểm): 
Rút gọn biểu thức: 
Cho . Tính 
Bài 4 (5 điểm). 
a) Cho hai số x, y thoã mãn điều kiện 3x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3x2 + y2
b) Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1
 Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1)
Một số đáp án
Ta có: C = a + b = ( (ĐPCM)
Ta có: 	19702 – 1 < 19702
	1969.1971 < 19702 
	 (*)	(0.25đ)
Cộng 2.1970 vào hai vế của (*)
 ta có:
	(0.25đ)
	(0.25đ)
	(0.25đ)
Vậy: 
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
 A đạt giá trị nhỏ nhất là -1 hay x = A = . A đạt GTLN là 4 
 Do a, b, c là các số dương nên ta có; 
 (a – 1)2 (1) 0,25đ
 Tương tự (b + 1)2 4b (2)0,25đ
 (c + 1)2 4c (3) 0,25đ
 Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có:
(b + 1)2(a + 1)2(c + 1)2 64abc (vì abc = 1)
((b + 1)(a + 1)(c + 1))2 64
(b + 1)(a + 1)(c + 1) 8..0,25đ
Bài IV: y x2 + y x + y = 1 . (1)
 Nếu phương trình có nghiệm thì x ,y > 0.
y(x2 + x +1) = 1 
 y= 1 y = 1 ,x= 0
 x2 + x +1 =1
 Vậy nghiệm của phương trình trên là (x,y) = (0 ,1). (1đ)
Bài 1:(2 điểm)	 Ta có: a + b + c = 0 b + c = - a.	
Bình phương hai vế ta có : (b + c)2 = a2
	 b2 + 2bc + c2 = a2 b2 + c2 - a2 = -2bc	
Tương tự, ta có: 	c2 + a2 - b2 = -2ca
	a2 + b2 - c2 = -2ab	
 A = (vì a + b + c = 0)	
Vậy A= 0.
Đặt y = x + 2 ta được phương trình: 
(y – 1)4 + (y +1)4 = 16 2y4 + 12y2 + 2 = 16 
y4 + 6y2 -7 = 0	
Đặt z = y2 ta được phương trình: z2 + 6z – 7 = 0 có hai nghiệm là
 z1 = 1 và z2 = -7.	
y2 = 1 có 2 nghiệm y1 = 1 ; y2 = -1 ứng với x1 = -1 ; x2 = -3.
y2 = -7 không có nghiệm.	
	2) 	
	= 0 	
	Vì 	
Bài 3:(1,5 điểm) 	Ta có:
	a = 	 
	= ; 	 
	Mặt khác a > 0. Do đó a không nguyên 	
Bài 1: a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120
Kết quả phân tích A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4)	
 b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4)
=> A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2)
L à tích của 4 số nguyên liên tiêp nên A 24	
Bài 4: Giải a. chứng minh được
 F C . BA + CA. BE = AB2	(0,5 điểm )
+ Chứng minh được chu vi tứ giác 
MEAF = 2 AB 
 ( không phụ vào vị trí của M ) ( 0,5 điểm )
b. Chứng tỏ được M là trung điểm BC 
Thì diện tích tứ giác MEAF lớn nhất (1 điểm )
c. Chứng tỏ được đường thẳng
MH EF luôn đi qua một điểm N cố định ( 1 điểm )
 (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17
Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17.
(1,5đ) áp dụng hằng đẳng thức:
 an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - - abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ.
Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 ++ 6918) 
 = 88(1918 – 1917.69 + + 6918) chia hết cho 44.
Do đó : xyz(++)= 3