Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 9 - Đề 8

ĐỀ 8
Bài 1(6đ):
 1, Cho biểu thức 
 a/ Rút gọn biểu thức Q.
 b/ Tính giá trị của biểu thức Q khi x = + .
 2, Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x + 2000 víi x = + .
Bài 2: (4đ)
 a) Biết a, b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1 
Chứng minh : .
 Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho : 
 với n là số nguyên lớn hơn 2.
Bài 3 : (4đ)
 a , Giải phương trình :
 ( x-3)(x+1) + (x-3) = -3
 b, Tìm nghiệm của phương trình
Bài 4 (4 điểm).
 Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J.
a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
b) Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất.
Bài 5:( 2 điểm )
 Cho hình thoi ABCD cạnh a, gọi R và r lần lượt là các bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC. Chứng minh :.
 ----------------Hết---------------- 
 ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
TRƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG
H­íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9
N¨m häc 2015 - 2016
M«n thi : To¸n
CÂU 
Ý
NỘI DUNG CẦN ĐẠT
ĐIỂM 
Bài 1
(6đ)
1.
a)(2đ)
ĐKXĐ: x 0; x 
 A = 
=
= 
0,5
0,5
0,5
0,5
1
b)2đ
Ta có : 
x = + 
 = + 
 = + 
 = + 
 = + 1
 Thay x = + 1 vào A ta có:
 A = = 1 
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
2.(2đ)
Áp dụng công thức: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b),
Đặt a=, b=
 Ta có 
Þ x= a+b Þ x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b)
=> x3 = 6 + 3x Þ x3- 3x = 6
Suy ra B = 2006 
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 2
(4đ)
a)(2đ)
* Vì a.b = 1 nên 
* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương 
 Ta có : 
Vậy 
0,75
0,75
0,5
b)2đ
(1)
Viết được (2)	
Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 
=> 4n – 5 + 99 (3) 
Mặt khác : 
100 
	 (4) 
Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26
 Vậy số cần tìm 	
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(4đ)
a)(2đ)
b)(2đ)
 ĐK: ³ 0 Û (*)
 Đặt t = (x-3) , suy ra (x-3)(x+1) = t2
 Khi đó phương trình có dạng : t2+4t+3 =0Û 
* Với t= -3, ta được :
 (x-3) = -3 Û Û 
 Û Û x = 1- , thoả mãn điều kiện (*)
* Với t=-1, ta được:
 (x-3) = -1 Û Û 
 Û Û x= 1- , thoả mãn điều kiện (*)
 Vậy phương trình có hai nghiệm x=1- và x= 1- 
Từ 
Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16
Khi đó ta thấy: 
( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn
Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ. Ta lại có tích của chúng là số chẵn, vậy 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn .
Ta chỉ có cách phân tích -16 ra tích của 2 số chẵn sau đây:
- 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) 
Ta có bảng giá trị sau :
y+3+x
8
-2
2
-8
4
-4
y+3-x
-2
8
-8
2
-4
4
x
5
-5
5
-5
4
-4
y
0
0
-6
-6
-3
-3
Vì thế phương trình đã cho có các nghiệm:
( x,y) = 
C 
J 
A 
I 
M 
D 
O 
O’ 
B 
0,25
0,25
0,75
0,75
0,5
0,25
1,0
0,25
Bài 4
(4đ)
a)(2đ)
b)(2đ
a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì ABCD : gt) ACMD là hình thoiAC // DM, mà ACCB (do C thuộc đường tròn đường kính AB)
DMCB; MJCB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)
D, M, J thẳng hàng.
Ta có : (vì )
Mà (do IC = IJ = ID : CJD vuông tại J có JI là trung tuyến)
(do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); và đối đỉnh)
 = 90 0Þ IJ là tiếp tuyến của (O’), 
J là tiếp điểm
b) Ta có IA = IM
IO’ = = R (R là bán kính của (O))
O’M = O’B (bán kính (O’)
JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2
Mà IJ2 + O’J2 2IJ.O’J = 4SJIO’
Do đó SJIO’ 
SJIO’ = khi IJ = O’J và JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên :
2O’J2 = O’I2 = R2 O’J = 
Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
Bài 5
(2đ)
Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD, BD là đường trung trực của AC. Do vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I, K là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADB, ABC.
Từ đó ta có KB = r và IB = R. Lấy một điểm E đối xứng với điểm I qua M. Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đường chéo EI và AB vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi
 đường)
 Ta có : = mà =900
Þ =900 
 Xét EBK cã =900 đường cao BM.Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có: 
Mà BK = r , BE = BI = R; BM = Nªn(§pcm)
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
( Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm )