Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 9 - Đề 7

ĐỀ 7
Cõu 1: (6 điểm)
 1.Cho P =
 a. Rỳt gọn P
 b. Tớnh P khi x = 23 + 
 2.Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100
Cõu 2: (4 điểm)	 
 a. Giải phương trình: 
 b. Cho x;y;z là 3 số thỏa mãn điều kiện:
 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 0
 Tính giá trị của biểu thức A = (x- 4) + ( y - 4) + (z - 4) 
Cõu 3: (3 điểm)
a) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 	
b) Cho a, b, c là các sụ́ lớn hơn 1.
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
Cõu 4: (6 điểm)
 Cho AB là đường kớnh của (O; R), C là một điểm thay đổi trờn đường trũn (C khỏc A và B), kẻ CH vụng gúc với AB tại H . Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường trũn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.
 a, Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cựng thuộc một đường trũn.
 b, Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O,R)
 c, Chứng minh K là trung điểm CH
 d, Xỏc định vị trớ của C để chu vi tam giỏc ACB đạt giỏ trị lớn nhất? Tỡm giỏ trị lớn nhất đú theo R.
Cõu 5: (1 điểm)
 Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương , , thoả món 
- Hết -
Lưu ý: Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm!
PHềNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS DÂN HềA
HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9
MễN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phỳt
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
( 6đ)
1. a) Điều kiện để P cú nghĩa là : x ; y; xy	 P=
= 	 
= 
 = 
= 	
 b) Đặt A = 
Ta cú: 
x = 23 + 2 = 25
 Thay x = 25 vào P ta cú:
 P = 
2. Ta cú: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50
Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101
Ta cú: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513) 
= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1)
Lại cú: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003)
Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nờn A chia hết cho 50 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nờn A chia hết cho B
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2
( 4đ)
a) (1)
ĐKXĐ: 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta cú:
VT=
Dấu “=” xảy ra khi =ú x= 2
Ta lại cú: VP =
Dấu “=” xảy ra khi x = 2
Do đú VT = VP ú x = 2 ( TMĐKXĐ)
 vậy 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b) 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 0
 Û 4x + y + z - 4xy -4xz + 2yz + y - 6y + 9 + z - 10z +25 = 0 
 Û ( 2x - y -z) + ( y - 3) + ( z - 5) = 0 
 Vậy ( 4- 4) + ( 3 - 4) + ( 5 - 4) = 0 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 3 (3đ)
a) x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 (1)
(1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0
 (x + y)2 + (y - 1)(y + 4) = 0
 (y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 (2)
 Vỡ - (x + y)2 0 với mọi x, y nờn: (y - 1)(y + 4) 0 - 4 y 1
Vỡ y nguyờn nờn y 
Thay cỏc giỏ trị nguyờn của y vào (2) ta tỡm được cỏc cặp nghiệm nguyờn (x; y) của PT đó cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1). 
b) P = 
P =	 
P =
P = 
Do . Áp dụng bṍt đẳng thức Cụ-si cho 2 số dương ta có :
P 
 Vọ̃y P 
Dṍu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4
( 6đ)
Vẽ hỡnh đỳng
0,5đ
a) Chứng minh OIAC OIC vuụng tại I
 I thuộc đường trũn đường kớnh OC 
 Lại cú CHAB (gt) nờn CHO vuụng tại H
 H thuộc đường trũn đường kớnh OC.
 Do đú I, H cựng thuộc đường trũn đường kớnh OC.
 Hay 4 điểm C, I, O, H cựng thuộc một đường trũn.
0,5đ
0,5đ
b) 
Ta cú: gúc ACB = 900 ACCB
 Mà AC OM
	CB // OM
	 gúc AOM = gúc OBC (1)
Lại cú: gúc CBO = gúc OCB ( vỡ OCB cõn tại O)
 Gúc OCB = gúc COM ( so le trong) (2)
 Từ (1) và (2) gúc AOM = gúc COM 
 AOM = COM (c.g.c) gúc MCO = gúc MAO = 900
 MCCO
 MC là tiếp tuyến của (O;R)
c) MAB cú KH//MA (cựng vuụng gúc với AB)
 (1)
 CM: MAO đồng dạng với CHB
 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: CH=2KHCK=KH
 K là trung điểm của CH
c) Chu vi ACB là =AB+AC+CB=2R+AC+CB
 Ta cú: 
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AC = CB
 C là điểm chớnh giữa cung AB
 Vậy để chu vi ACB đạt giỏ trị lớn nhất là 2R(1+)
 C là điểm chớnh giữa cung AB
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 5
( 1đ
Ta cú : 100 = 8x+9y+10z > 8x+8y+8z = 8(x+y+z)
 .
Theo giả thiết x+y+z > 11, do ( x+y+z ) nguyờn nờn 
 x+y+z =12.
Vậy ta cú hệ 
Từ y + 2z =4 suy ra z =1 (do y,z > 0)
Khi z=1 thỡ y=2 và x=9. Thay x=9; y=2; z=1 thấy thoả món yờu cầu bài toỏn
0,5đ
0,5đ
* Chỳ ý: Hs giải cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa.
 DUYỆT CỦA BAN GIÁM HIỆU GIÁO VIấN RA ĐỀ
 Nguyễn Thị Hà Nguyễn Thị Thủy