Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 9 - Đề 5

ĐỀ 5
Bài 1: ( 4đ )
 Cho biểu thức
 P = và Q = ( với > 0, ≠ 1 )
 a) Rút gọn biểu thức P
 b) Với giá trị nào của thì Q – 4P đạt giá trị nhỏ nhất?
 Bài 2: ( 4đ )
 Cho ba số dương a , b , c . Chứng minh rằng
 ≥ 3( )
 Bài 3: ( 4đ )
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
 Bài 4: ( 6đ)
 Trên đường tròn tâm (o), bán kính R lấy hai điểm A và B tùy ý. Giả sử C là một điểm nằm phía trong AB ( C ≠ A, C ≠ B ). Kẻ đường kính AD của đường tròn tâm (o). Cát tuyến đi qua C vuông góc với đường kính AD tại H cắt đường tròn tâm (o) tại M và N. Đường thẳng đi qua M và D cắt AB tại E. Kẻ EG vuông góc với AD tại G
Chứng minh rằng: BDHC và AMEG cùng thuộc một đường tròn
Chứng minh rằng: AM= AC . AB
Chứng minh rằng: AE . AB + DE . DM = 4R
 Bài 5 ( 2đ)
 Các góc nhọn của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện
 CosA + CosB + CosC = 
 Chứng minh rằng tam giác ABC đều
 ................... Hết ......................
 PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 MÔN TOÁN HỌC 
NĂM HỌC: 2015 - 2016
Câu
Đáp án
Điểm
1/a
1đ
0,5đ
0,5đ
1/b
Q – 4P = 4
 = (
 = ( ≥ -1 Với mọi 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi {
 ó 
 Vậy Min Q - 4P = -1 khi 
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
 2
 Với > 0 ta có
 ≥ , ≥ 3.
( ≥ 9
ó ≥ * 
Áp dụng * ta có: 
 ≥ , ≥ , ≥ 
 Cộng vế ta được:
 3( ≥ 9(
 ó ≥ 3(
 Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0,5
 3
Biến đổi phương trình ó [] – (
 ó 
 ó 
 Do đó: và là ước của 7
 Vậy : ( 7; -3 ), ( 1; -3 ) , ( 3; 1 ) , ( -3 ; 1 )
1
1
1
0,5
0,5
 4/a
 4/b
4/c 
 Vẽ hình 
 Tứ giác BDHC và tứ giác AMEG là tứ giác nội tiếp
 Vì có tổng hai góc đối bằng 180
∆AHC đồng dạng ∆ABD ( g. g )
 => 
Nên AH. AD = AB. AC
 Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuôngMAD
Ta có: MA = AH. AD
AM = AB. AC
N
H
E
G
D
A
O
.
M
B
C
•
∆AGE đồng dạng ∆ABD ( g. g ) 
AE. AB = AG. AD
∆DGE đồng dạng ∆DMA ( g. g )
DE. DM = DG. DA
 Vậy AE. AB + DE. DM = AD(AG + GD)
 = AD= 4R
1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
 5
 Đặt CosA = , CosB = y, Cos C = z ( ta có ; y ; z > 0 )
 + y + z = 
 ó 
 ( = 0
 ( = 0
 ( = 0
 => 
 Hay CosA = CosB = Cosc
A = B = C
 Vậy ∆ABC đều
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
Ban giám hiệu
PHT. Vũ Thị Hồng Thắm
Người duyệt đề
Trịnh Văn Đông
Người ra đề / đáp án
Đàm Trọng Tuấn