Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 9 - Đề 23

ĐỀ 23
Bài 1 (5 điểm): 
 Cho biểu thức 
	a) Rút gọn biểu thức A . 
	b) Tính giá trị của A khi x = 
	c) Chứng minh rằng: A ≤ 
Bài 2 (3 điểm): 
 	a) Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn 
 Chứng minh rằng : abc < 
	b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 3 (3 điểm):
 a) Chứng minh nếu với 
 thì 
b) Giải phương trình: 
Bài 4 (3 điểm):
	Đội A và đội B thi đấu cờ với nhau. Mỗi đấu thủ của đội A phải đấu một ván cờ với mỗi đấu thủ của đội B. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng bình phương số đấu thủ của đội A cộng với hai lần số đấu thủ của đội B. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ biết rằng số đấu thủ của đội A không ít hơn 5 người?
Bài 5 (6 điểm):
	Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Kẻ tia Cx vuông góc với CE cắt AB tại F, M là trung điểm của đoạn thẳng EF.
 1. Chứng minh rằng:
	a) CE = CF
	b) 
	c) Khi điểm N di chuyển trên cạnh AB ( N không trùng với A và B) thì M chuyển động trên một đường thẳng cố định.
 2. Đặt BN = x
	a) Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và x.
	b) Xác định vị trí của điểm N trên cạnh AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD.
Đáp án – Biểu điểm
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Môn Toán 9 Năm Học 2011-2012
Bài 1 (5 điểm)
a) ĐKXĐ: x ≥ 0 ; x ≠ 1 	(0,5 điểm)
 	(0,5 điểm)
	(0,5 điểm)
	(0,5 điểm)
	(0,5 điểm)
b) x = =	(0,5 điểm)
 	(0,75 điểm)
c) Xét hiệu: 	(0,5 điểm)
Ta có: ≤ 0 và > 0, "x ≥ 0; x ≠ 1
 	(0,75 điểm)
Bài 2: (3 điểm)
a) Từ 	(0,5 điểm)
Do a, b, c dương, áp dụng BĐT Cô-si ta có: 
 	(0,25 điểm)
Đặt = t > 0 ị abc = 
 (*) 
 (do > 0, "t > 0)
 	(0,75 điểm)
b) Với điều kiện ta có:
 M = (0,25 điểm)
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm 1 và x - 1, ta có: 
 (vì ) (0,25 điểm)
Chứng minh tương tự ta có:
 (vì ) (0,25 điểm)
 ị M = (0,25 điểm) 
 Vậy Max M = x = 2, y = 8 	 (0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm)
a) Với . Từ gt ta có: 
 (0,25 điểm)
 (vì )
 (0,75 điểm)
 (vì ) (0,25 điểm)
 (0,25 điểm)
b) (2)
 	Điều kiện xác định: (0,25 điểm)
 (2) (0,25 điểm)
 	 (loại) hoặc (TMĐK) 	 	 (0,75 điểm)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm (0,25 điểm)
Bài 4 (3 điểm)
Gọi số đấu thủ của đội A và đội B lần lượt là x và y (x, y ; x ≥ 5) 	(0,5 điểm)
Tổng số ván cờ đã đấu là xy (ván cờ)
Theo đề bài ta có phương trình: xy = x2 + 2y 	(0,75 điểm)
Û y(x-2) = x2 Û y = 	(0,75 điểm)
Để x, y nguyên dương thì 4 mà x – 2 > 3 (do x > 5) nên x – 2 = 4 ị x = 6
Khi đó y (TMĐK)	(0,75 điểm)
Vậy đội A có 6 người, đội B có 9 người.	(0,25 điểm)
Bài 5 (6 điểm)
Vẽ hình đúng đến phần 1 	 (0,5 điểm)
1.a) (1 điểm)
 b) cân tại C ị CM là phân giác 
 Mà
 	 (1 điểm)
c) DAEF vuông tại A có AM là trung tuyến 
 DCEF vuông tại C có CM là trung tuyến 
 M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC 
hay M thuộc BD cố định. 	(1 điểm)
2.a) Có BN = x ị AN = a – x 	(0,25 điểm)
 SACFE = SACE + SCEF = 	(0,25 điểm)	
 Xét DADC có AE//BC
 (Hệ quả định lí Ta-lét)	(0,25 điểm)
 DEDC có 	(0,25 điểm)
 ị SACFE = 	(0,5 điểm)
 b) SACFE = 3.SABCD 
 	(0,25 điểm)
 Do x > 0; a > 0 ị 3x + a > 0 N là trung điểm của cạnh AB
(0,5 điểm)
 Vậy để àACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD thì điểm N là trung điểm cạnh AB.	 (0,25 điểm)