Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 9 - Đề 22

ĐỀ 22
Câu I: (4,0 điểm) Cho biểu thức 
 1. Rút gọn biểu thức A
 2. Tìm để 
Câu II: (4điểm)
 1. Giải phương trình 
 2. Giải hệ phương trình 
Câu III: (4điểm)
 1. Tìm các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình: .
 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn : 
Câu IV: (6điểm) 
Cho 3 điểm A , B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). 
Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
1. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
3. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.
Câu V: (2điểm)
Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 ------------------ Hết------------------
Họ tên thí sinh:  
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
(Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)
CÂU
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM
I
1
Điều kiện: 
Đặt , ta có:
0,5
0,5
0,5
. Vậy: .
0,5
2
 (do ) 
0,5
 0,5
 0,5
Đối chiếu với điều kiện ta được: 
0,5
II
1
ĐKXĐ: 
0,25
Nhận thấy không là nghiệm của phương trình. 
0,25
Khi thì 
Phương trình đã cho 
0,25
Đặt , ta được phương trình biểu thị theo t là 
0,25
0,25
Với (thỏa mãn)
0,25
Với (thỏa mãn)
0,25
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
0,25
2
Với x = y = 0 là nghiệm của hệ phương trình
0,5
Nhận thấy nếu x 0 thì y 0 và ngược lại
Xét x 0 ; y 0 hệ phương trình tương đương với
(2)
(1)
0,5
Thay (1) vào (2) ta được 
0,5
Vậy hệ có nghiệm (x ; y) là (0 ; 0) ; (1 ; 1)
0,25
0,25
1
Ta có: (1)
 . Đặt (2) thì
(1) trở thành (3). 
0,5
Từ (2) thay vào (3) ta được (*), coi đây là PT bậc hai đối với y có: 
0,5
Để (*) có nghiệm 
Vì hoặc . Thay vào (*) : 
0,5
 + Với 
 + Với 
Vậy phương trình có 3 nghiệm nguyên (x, y) là (0; 0), (-1; 3) và ( 1; 2)
0,5
III
2
Nếu thì . 
0,25
Do và p là số nguyên tố nên 
0,25
Nếu thì pq và p + q là nguyên tố cùng nhau vì pq chỉ chia hết cho các ước nguyên tố là p và q còn p + q thì không chia hết cho p và không chia hết cho q.
0,25
Gọi r là một ước chung của và 
0,25
 hoặc . 
0,25
 suy ra là hai nghiệm của phương trình vô nghiệm do 
0,25
 suy ra là hai nghiệm của phương trình vô nghiệm do .
0,25
Vậy bộ các số nguyên tố (p; q) cần tìm là 
0,25
IV
1
H
I là trung điểm của BC (Dây BC không đi qua O)
 OI ^ BC OIA = 900 
0,5
Ta có AMO = 900 
ANO = 900 
Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kinh OA
0,5
0,5
0,5
2
AM, AN là hai tiếp tuyến của (O) nên OA là phân giác MON mà DMON cân ở O nên OA ^ MN
DABN đồng dạng với DANC (Vì ANB = ACN, CAN chung) 
 AB . AC = AN2 
DANO vuông tại N đường cao NH nên AH . AO = AN2
AB . AC = AH . AO 
DAHK đồng dạng với DAIO (g-g) 
Nên 
Ta có A, B, C cố định nên I cố định AK cố định 
Mà A cố định, K là giao điểm của dây BC và dây MN nên K thuộc tia AB K cố định
0,5
0,5
0,5
0,5
3
Ta có PMQ = 900 
 DMHE DQDM (g-g) 
DPMH DMQH 
 ME = 2 MP P là trung điểm ME
0,5
0,5
0,5
0,5
V
Từ: 
ta có: 
0,25
Lại có 
và 
0,25
0,25
Đặt (với ).
0,25
Có 
0,25
0,25
mà .
0,25
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = 2 hay 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi 
0,25
Lưu ý khi chấm bài:
- Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
- Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm điểm.