Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 9 - Đề 20

ĐỀ 20
Bài 1: ( 1,5 điểm)
Cho 
Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
Đặt B = A + x – 1. Tìm GTNN của biểu thức B.
Bài 2: (1,5 điểm)
a, Cho 
 Chứng minh rằng là một số chính phương
b, Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0
Bài 3: (2 điểm)
Tìm x, y biết : + + x+ y = 4
b) Giải phương trình : 
Bài 4: (1,0 điểm)
Cho hai số thực . CMR : 
Bài 5: (2 điểm)
 Cho tam giác ABC (góc B là góc tù),và ba đường trung tuyến AD =36 cm, BE=15cm, CF=39cm.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC,và K là trung điểm của GC.
 a) Chứng minh: ADDK
 b) Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 6: (2 điểm)
Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.
Chứng minh : 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn
Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì sao ?
Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O.
 ---Hết---
 ĐÁP ÁN- BIỂU ĐIỂM
Bài 1: ( 1,5 điểm). Mỗi ý đúng cho 0,75 điểm
a) ĐKXĐ: 
b) B = A + x – 1=
Dấu “=” xảy ra ( TM ĐKXĐ)
Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1
Bài 2: ( 1,5 điểm). Mỗi ý đúng cho 0,75 điểm 
 a, Ta có:
 Vậy P là số chính phương
 b, 
KQ: 
Bài 3: (2 điểm). Mỗi ý đúng cho 1 điểm
a) ĐKXĐ: 
 + + x+ y = 4 ( TM ĐKXĐ)
Vậy (x;y)=(1;1)
b) 
 ĐKXĐ : 
 (*)
Nếu phương trình (*) (TM)
Nếu phương trình (*) ( TM)
Vậy phương trình có nghiệm x=1; x=5
Bài 4: (1 điểm)
Bài 5: (2 điểm). Mỗi ý đúng cho 1 điểm
Hình vẽ: 
a)Chứng minh ADDK:
Ta có 
 DK là đường trung bình tam giác BGC nên: và 
Tam giác DGK có 
 vuông tại D ( định lý Pi ta go đảo) , hay ADDK
b) Tính diện tích tam giác ABC:
BG // DK, ADDK ADBG
 ; . 
Bài 6: ( 2 điểm)
a) Các tam giác AEB, AMB vuông ( vì AB đường kính) suy ra 
Gọi C là trung điểm của KF ta có 
hay 
Suy ra 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn tâm C.
b) Ta có AE vừa là đường cao vừa là phân giác của tam giác AHK nên AH=AK và HE=EK
EC là đường trung bình của tam giác HKF nên ECHF, mà EC=KF nên HF=KF.
K là trực tâm của tam giác FAB nên , mà do đó AH//KF suy ra .
 suy ra AH=KF
Do đó AH=AK=KF=EH và nên tứ giác 
AHFK là hình thoi.
c) Vì AHFK là hình thoi suy ra HF//AM, mà nên (1)
Mặt khác HK là trung trực của AF hay BH là trung trực của AF nên BF=AB=2R (2)
Từ (1) và (2) suy ra HF là tiếp tuyến đường tròn (B; 2R) cố định.
 HẾT