Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 9 - Đề 10

ĐỀ 10
Bài 1(6đ): 1, Cho biểu thức:
 a/ Rút gọn A
 b/ Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên
 2, Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x + 2000 víi x = + .
Bài 2: (4đ)
 a) Cho ba số dương thoả mãn Chứng minh rằng:
b)Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương 
Bài 3 : (4đ)
 a , Giải phương trình :
 .
 b, Tìm nghiệm của phương trình: 
 x2+ 2y2 + 2xy + 3y - 4 =0
. Bài 4: (5 đ) Cho đường tròn (O,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn, từ một điểm M di động trên đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB,MC với đường tròn (B,C là tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh OA.OK không đổi từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh H di động trên một đường tròn cố định.
c) Cho biết OA= 2R. Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5 ( 1.0 đ):T×m a,b lµ c¸c sè nguyªn dư¬ng sao cho: a + b2 chia hÕt cho a2b - 1
 ----------------Hết---------------- 
 ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
TRƯỜNG THCS KIM THƯ
HƯỚNG dÉn chÊm thi häc sinh giái líp9 
N¨m häc 2015 - 2016
M«n thi : To¸n
CÂU 
Ý
NỘI DUNG CẦN ĐẠT
ĐIỂM 
Bài 1
(5đ)
1a) (2đ).
a/(2đ)Cho biểu thức 
 A= 1- ĐK: x
A= 1-
A=1-
A=1-
0,25
0,5
0,5 
0,75
1b)
(1đ)
Ta có : 
b/(2đ) Tìm xđể A nguyên.
Ư(2)
Do 
Vậy x=0 thì A có giá trị nguyên.
0,5
0,5 
2.(2đ)
Áp dụng công thức: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b),
Đặt a=, b=
 Ta có 
Þ x= a+b Þ x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b)
=> x3 = 6 + 3x Þ x3- 3x = 6
Suy ra B = 2006
0,5
0,5 
0,25 
0,25
0,5 
Bài 2
(4đ)
a)(2đ)
 Bất đẳng thức đã cho tương đương với 
với 
Tacó :
Tương tự: 
Từ đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi 
0,75
0,75
0,5
b)2đ
 là số chính phương nên A có dạng 
(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
Vậy với n = 5 thì A là số chính phương
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(4đ)
a)(2đ)
b)(2đ)
 a) Giải pt sau: ĐKXĐ: 
Ta có: 
 (TMĐK)
Vậy PT có nghiệm là: x = -2
b)
BiÕn ®æi phư¬ng tr×nh
 x2+2y2 +2xy +3y-4 =0(x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4=0
 (y+4)(y-1) =-(x+y)20
 - 4 y1 v× y thuéc Z nªn y 
§S s¸u cÆp (x;y) tháa m·n phư¬ng tr×nh lµ
(4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0)
0,25
0,25
0,75
0,75
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
(5đ)
Vẽ hình
(0,25)
a)(2đ)
b)(1đ)
c) (1,75)
A
B
O
H
K
C
M
d
 a. 
 vBOM có OB2 = OH. OM
 (Không đổi)
 K là điểm cố định. 
 b. 
 H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định. 
 c.
 Smin OM nhỏ nhất, BC nhỏ nhất 
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
1đ
0,5
0,5
0,5
0,25
Bài 5
(1đ)
Bµi 5: (1®) 
§Æt 2(x+y)=k(xy+2) víi k k=1
NêuT×m được x=4 ; y=3
Nếu k v« lÝ (lo¹i)
VËy x=4. y=3
0,25
0,5
0,25
( Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm )