Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Lai Vung (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN LAI VUNG 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
NĂM HỌC 2015 – 2016 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi: 13/06/2016 
Họ và tên thí sinh:.......................................... Số báo danh:.......................... 
Chữ ký của giám thị 1:...................... Chữ ký của giám thị 2:............................ 
NỘI DUNG ĐỀ THI 
(Đề thi có 02 trang, gồm 6 câu) 
Câu 1 (3,0 điểm) 
a) Cho biểu thức A = ( 5) ( 3)( 2)n n n n    (với n là số tự nhiên). Chứng 
minh A chia hết cho 6 với mọi giá trị của n. 
b) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh biểu thức 
    2 24B x x y x y z x z y z      là một số chính phương. 
Câu 2 (3,0 điểm) 
a) Cho biểu thức 24 4 5P x x   . Chứng minh P > 0 với mọi giá trị của x. 
b) Giải bất phương trình: 
3
2
2
x
x



Câu 3 (3,0 điểm) 
a) Rút gọn biểu thức
2
3 . 4
7 12
x x
N
x x
 

 
 với 3 4x  
b) Cho ,x y là hai số bất kì thỏa mãn điều kiện 2 29 4 2 3x y xy xy x    . 
Tính giá trị của biểu thức 
2
3 2 2
25 2
:
10 25 2
x y
N
x x x y y
 

   
. 
Câu 4 (4,0 điểm) 
a) Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, 
đoạn xuống dốc DB, tổng cộng dài 30 km. Một người đi từ A đến B rồi từ B trở 
về A hết tất cả 4 giờ 25 phút. Tính quãng đường nằm ngang? Biết rằng cả lúc đi 
lẫn lúc về thì: vận tốc lên dốc là 10 km/h; vận tốc xuống dốc là 20 km/h; vận tốc 
trên đường nằm ngang là 15 km/h. 
b) Cho , a b là hai số thực dương bất kì thỏa mãn 1a b  . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
2 2
1 1
1 1M
a b
   
   
   
    
Câu 5 (4,0 điểm) 
a) Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung 
điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang cân? 
b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng 
5
6
AB
AC
 , đường cao 
AH=30cm. Tính HB, HC. 
Câu 6 (3,0 điểm) 
Cho hình vuông ABCD có cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc 
cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo 
thứ tự ở M, N. 
a) Chứng minh rằng 2.CM DN a 
b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng MKN = 90
0. 
c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất ? 
--- HẾT --- 
Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN LAI VUNG 
Hướng dẫn chấm gồm 04 trang 
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
NĂM HỌC 2015 – 2016 
MÔN: TOÁN 
I. HƯỚNG DẪN CHUNG: 
1. Học sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng 
đúng, chính xác, chặt chẽ thì cho đủ số điểm của câu đó. 
2. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm 
bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện 
trong tổ chấm thi. 
3. Điểm toàn bài tính theo thang điểm 20, làm tròn số đến 0,25 điểm. 
II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM: 
Câu Nội dung Điểm 
1 
a) Cho biểu thức A = ( 5) ( 3)( 2)n n n n    (với n là số tự nhiên). Chứng 
minh A chia hết cho 6 với mọi giá trị của n. 
1,0 
A  2 25 6n n n n     0,5 
 6 6 6n   ( với mọi n N ) 0,5 
b) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh 
    2 24B x x y x y z x z y z      là một số chính phương. 2,0 
  2 2 2 24B x xy xz x xy xz yz y z       . Đặt 2a x xy xz   0,5 
  2 2 2 2 24 4 4B a a yz y z a ayz y z      0,5 
 
2
2B a yz  0,5 
Vậy  
222 2 2B x xy xz yz    là số chính phương 0,5 
2 
a) Cho biểu thức 24 4 5P x x   . Chứng minh P > 0 với mọi giá trị của 
x. 1,0 
2 24 4 5 4 4 1 4P x x x x       0,5 
  
2
2 1 4 0P x    với mọi giá trị của x. 0,5 
b) Giải bất phương trình: 
3
2
2
x
x



 2,0 
3 3
2 2 0
2 2
x x
x x
 
   
 
 0,5 
3 2 4 7
0 0
2 2
x x x
x x
    
   
 
 0,5 
TH1: 
7 0 7
2 0 2
x x
x x
     
 
    
 (loại) 0,5 
TH2: 
7 0 7
7 2
2 0 2
x x
x
x x
     
      
    
Vậy tập nghiệm của bpt:  7 2S x R x      
0,5 
Câu Nội dung Điểm 
3 
a) Rút gọn biểu thức
2
3 . 4
7 12
x x
N
x x
 

 
 với 3 4x  1,5 
Vì 3 4x  nên 3 3x x   ; 4 4x x   0,5 
  
2
3 4
7 12
x x
N
x x
 

 
 0,5 
  
  
3 4
3 4
x x
x x
 

 
1  0,5 
b) Cho ,x y là hai số bất kì thỏa mãn điều kiện 2 29 4 2 3x y xy xy x     . 
Tính giá trị của biểu thức 
2
3 2 2
- 25 - 2
:
-10 25 - - 2
x y
N
x x x y y


. 
1,5 
  
 
     
 2
5 5 1 2 5 1
2 55
x x y y x y
N
y x xx x
     
  
 
 0,5 
 
22 29 4 2 3 3 3 0
3 0 3
3 0 1
x y xy xy x x y x
x y x
x y
         
   
  
   
 0,5 
8
3
N

 0,5 
4 
a) Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, 
đoạn xuống dốc DB, tổng cộng dài 30 km. Một người đi từ A đến B rồi từ 
B trở về A hết tất cả 4 giờ 25 phút. Tính quãng đường nằm ngang? Biết 
rằng cả lúc đi lẫn lúc về thì: vận tốc lên dốc là 10 km/h; vận tốc xuống 
dốc là 20 km/h; vận tốc trên đường nằm ngang là 15 km/h. 
2,0 
- Gọi quãng đường nằm ngang CD là x (0 < x < 30; km) 0,5 
 Thì tổng quãng đường lên dốc và xuống dốc AC + DB là: 30 – x 0,5 
- Kể cả lúc đi và lúc về thì: 
 + Quãng đường nằm ngang dài: 2x 
 + Quãng đường lên dốc dài: 30 – x 
 + Quãng đường xuống dốc dài: 30 – x 
0,25 
0,25 
0,25 
- Lập được phương trình: 
2 30 30 5
4
15 10 20 12
x x x 
   0,5 
- Giải phương trình tìm được: 5x  0,5 
- Trả lời: Quãng đường nằm ngang dài 5 km. 0,25 
b) Cho , a b là hai số thực dương bất kì thỏa mãn 1a b  . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
2 2
1 1
1 1M
a b
   
      
   
 2,0 
2 2
1 1
a b a b
M
a b
    
      
   
 0,5 
2 2
2 2
b a
M
a b
   
      
   
2 2
2 2
8 4
a b a b
b a b a
 
     
 
 0,5 
Vì 
2 2
2 2
2
a b
b a
  ; 2
a b
b a
  nên 8 2 4.2 18M M     0,5 
Vậy GTNN của M = 18 
1
2
a b   0,5 
Câu Nội dung Điểm 
5 
a) Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung 
điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang 
cân? 
2,0 
M
ED
H
CB
A
Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC nên DE // BC 
/ /DE HM . Do đó tứ giác DEMH là hình thang. 0,5 
Mặt khác tam giác AHC vuông tại H và HE là đường trung tuyến nên: 
  
AC
HE 1
2
 0,5 
DM là đường trung bình của tam giác ABC nên: 
  
AC
DM 2
2
 0,5 
Từ (1) và (2) suy ra: DM = HE. 
Hình thang DEMH có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang 
cân. (đpcm) 
0,5 
b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng 
5
6
AB
AC
 , đường cao AH = 
30cm. Tính HB, HC. 
2,0 
A
B CH
Chứng minh: ABH CAH
AB AH
AC CH
  0,5 
5 30
36
6
CH cm
CH
    0,5 
Từ ABH CAH 2.
AH BH
BH HC AH
HC AH
    0,5 
2 230
25
36
AH
BH cm
CH
    0,5 
Câu Nội dung Điểm 
6 
Cho hình vuông ABCD có cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc 
cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng 
CD theo thứ tự ở M, N. 
3,0 
a) Chứng minh rằng 2.CM DN a . 1,0 
- Ta có : AB // MN 
 
DN
BA
FD
AF
BE
CE
BA
CM
 
0,5 
 CM.DN = AB2 = a2 0,5 
b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng MKN = 90
0. 1,0 
- Ở câu a ta có 
DN
AB
AB
CM
 nên 
DN
DA
CB
CM
 0,25 
- Do đó CMB đồng dạng DAN (c.g.c) nên CMB = DAN 0,5 
Suy ra CMB + DNA = 90
0.Vậy MKN = 90
0 0,25 
c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất? 1,0 
- Độ dài MN nhỏ nhất  CM + DN nhỏ nhất. 0,25 
mà CM.DN = a2 là không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất  CM = DN 0,25 
- Khi đó CM2 = a2 , CM = DN = a ; nên độ dài MN nhỏ nhất bằng 3a khi 
và chỉ khi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. 
0,5 
---Hết--- 
a
A
D
B
C MN
K
F E