Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2011-2012 - Phòng GD & ĐT Hoằng Hóa (Có đáp án)

Phòng giáo dục và đào tạo
Huyện Hoằng hóa
đề thi học sinh giỏi - năm học 2011-2012
Môn toán - lớp 7
Thời gian làm bài : 120 phú t( không kể thời gian giao đề)
Bài 1( 4.0 điểm): 
 a) Cho biểu thức : . Tính giá trị của M với ; b = - 0,75.
 b) Xác định dấu của c, biết rằng trái dấu với .
Bài 2( 4.0 điểm): 
 a) Tìm các số x, y, z biết rằng: và 2x – 3y + z = 6.
 b) Cho dãy tỉ số bằng nhau : 
Tính giá trị của biểu thức M, với 
Bài 3( 3.0 điểm): Cho hàm số y = f(x) = 2 – x2.
 a) Hãy tính : f(0) ; f()
 b) Chứng minh : f(x – 1) = f(1 – x)
Bài 4( 4.0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AM. Qua M kẻ các đường thẳng vuông góc với AB và AC, chúng cắt d theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng: 
 a) BD // CE.
 b) DE = BD + CE.
Bài 5( 3.0 điểm): Tìm tỉ số của A và B, biết rằng: 
Trong đó A có 25 số hạng và B có 1980 số hạng.
Bài 6( 2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân. Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho: CD = 2 BD. Chứng minh rằng: 
................... Hết .....................
Phòng giáo dục và đào tạo
Hoằng hóa
Hướng dẫn chấm toán lơp 7
Cõu
HD chấm
Điểm
Cõu 1
(4,0đ)
a.(2.5đ) Ta cú: hoặc 
Với a = 1,5 và b = -0,75 thỡ = 1,5 + 2.1,5.(- 0,75) = 0
Với a = - 1,5 và b = - 0,75 thỡ = 
b. (1.5đ) Do và trỏi dấu nờn : 
.() < 0. 
 ( vỡ a8b4 > 0 với mọi )
Vậy c > 0 tức là mang dấu dương.
0.5đ
1.0đ
1.0đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
Cõu 2
(4,0 đ)
a( 2.0đ).
 vỡ 
Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú: 
Suy ra x = 27; y = 36; z = 60.
b.(2đ) Từ giả thiết suy ra 
* Nếu a + b + c + d = 0 thỡ a + b = - (c + d); b + c = - (d + a);
c + d = - ( a + b); d + a = - ( b + c)
Khi đú M = (- 1) + (- 1) +(- 1) +(- 1) = - 4 
* Nếu a + b + c + d 0 thỡ nờn a = b = c = d 
Khi đú M = 1 + 1 + 1 +1 = 4
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
Cõu 3.
(3,0 đ)
 a.(2.0đ) f(0) = 2 – 02 = 2; 
 f() = 2 – = 
b.(1.0đ) f(x – 1) = 2 – ( x – 1 )2; f(1 – x ) = 2 – ( 1 – x )2
do (x – 1) và (1 – x) là hai số đối nhau nờn bỡnh phương bằng nhau.
Vậy 2 – ( x – 1 )2 = 2 – ( 1 – x )2 hay f(x – 1) = f(1 – x).
1.0đ
1.0đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
Cõu 4
(4,0 đ)
(2,5đ) Theo tớnh chất đường trung tuyến ứng với cạnh 
huyền của tam giỏc vuụng: MA = MB.
Gọi H là giao điểm của MD và AB.
Tam giỏc cõn AMB cú MH đường cao ứng với đỏy
 nờn là đường trung trực, suy ra : DA = DB.
 Chứng minh được 
suy ra gúc MBD = gúc MAD = 900; 
do đú 
Tương tự ta cú : 
Vậy BD // CE (vỡ cựng vuụng gúc với BC), đpcm.
(1,5đ) Theo cõu a, DB = DA. 
 Tương tự, EC = EA. 
Suy ra DE = DA + AE = BD + CE.
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Cõu 5
(3,0 đ)
Ta cú : 
Áp dụng tớnh A và B ta được: 
Vậy 
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Cõu 6
(2,0 đ)
Bài 6( 2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân. Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho: CD = 2 BD. Chứng minh rằng: 
Gọi M là trung điểm của DC. Trờn tia đối của tia MA
lấy điểm E sao cho ME = MA.
 Ta cú hai tam giỏc AMC và EMD bằng nhau 
Vỡ MD = MC, MA = ME, .
Nờn DE = AC, và gúc .
Mặt khỏc , 
( theo tớnh chất gúc ngoài tam giỏc)
mà ( vỡ tam giỏc ABC cõn, đỏy BC)
nờn suy ra AC > AD.
Từ đú DE > DA, suy ra ,hay .
Vỡ ( do )
 nờn gúc hay 
Suy ra 
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Chỳ ý : 
Học sinh làm cỏch khỏc, đỳng vẫn cho điểm tối đa.
Bài hỡnh khụng vẽ hỡnh, hoặc vẽ sai thỡ khụng chấm điểm.