Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán học 8

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 90 phút( Không kể thời gian giao đề) 
Câu 1. (3 điểm)
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a, 
 	b, 
2. Cho . Chứng minh rằng: 
Câu 2: (2 điểm)
1. Tìm a,b sao cho chia hết cho đa thức 	
2. Tìm số nguyên a sao cho là số nguyên tố 
Câu 3.( 3,5 điểm)
 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD.
 Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh: DE = CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4.(1,5 điểm) 
Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 
 Tinh: a2011 + b2011
--------------------------HẾT--------------------------
UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Câu
Đáp án
Điểm
1
1a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 
0,5
 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
0,25
 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 
0,25
1b. ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
 	= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
0,25
 = (x2 + 7x + 11)2 - 52
 	= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
0,25
0,25
 = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
0,25
2. Nhân cả 2 vế của: 
 với a + b + c 
0,5
 rút gọn đpcm
0,5
2
1. Ta có : Vì chia hết cho đa thức 
0,25
Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
0,25
Với 
Với 
0,25
Thay (1) vào (2) . Ta có : và 
0,25
2. Ta có : 
0,25
Vì 
Có
Và 
0,25
Vậy là số nguyên tố thì hoặc 
0,25
Nếu thử lại thấy thoả mãn
Nếu thử lại thấy thoả mãn
0,25
3
0,25
a. Chứng minh: 	
 đpcm
0,5
0,5
b. DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm
1
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
 không đổi
0,5
 lớn nhất 
 (AEMF là h.v) 
 là trung điểm của BD.
0,25
0,25
0,25
4
 (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
0,25
0,25
0,25
0,25
Vì a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1; hoặc b = 0 (loại)
Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
0,25
0,25
* Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
-----------------HẾT------------------