Đê thi chọn học sinh giỏi lớp 9 vòng 1 năm học 2011 - 2012

ĐÊ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG 1 NĂM HỌC 2011-2012
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1. Giải các phương trình
a) x2 + 2x + 2 = 
b) 
Bài 2. Cho a và b là các số thoả mãn: 
 	a) Chứng minh: 
 	b) Tính: P = a2011 + b2011 + 2011.
Bài 3. Cho a, b, c, d là các số dương, chứng minh:
 	a) 
 	b) .
Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB = a . M là trung điểm AB, trên BC lấy điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng DC tại P, đường thẳng PB cắt đường thẳng DM tại Q.
 	a) Chứng minh = 
 	b) Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM cắt đường thẳng BC tại H. Tính giá trị nhỏ nhất của diện tich tam giác AHC theo a
Bài 5. Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện
--------------------Hết------------------
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài
Đáp án
Điểm
Bài 1
a)
b)
Bài 2:
a) 
b) 
Bài 3:
a) 
b) 
Bài 4: 
a)
b)
Bài 5:
x2 + 2x + 2 = Û 
Với ĐKXĐ: x ³ -1. Phương trình trở thành 
Û Û x = 0 (TMĐK). Vây phương trình có nghiệm x = 0 
Nhân hai vế của phương trình với , ta được: Û Û 
Û (*)
Với ĐKXĐ x phương trình (*) trở thành 2 hay 
 Û 4x - 7 = 1 Û x = 2 (TMĐK). Vậy phương trình có nghiệm x = 2
Từ 
Þ Þ Þ 
Þ (1) 
Tương tự ta có: (2) 
Từ (1) và (2) Þ a = - b 
Nên P = a2011 + b2011 + 2011 = a2011 - a2011 + 2011 = 2011 
BĐT tương đương 
 Û 
Áp dụng BĐT phụ (HS phải chứng minh) ta có:
 = 4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b= c = d
Do vai trò a, b, c bình đẳng nên ta giả sử abc. 
Ta có: = = = (1) Tương tự ta cũng có = (2) Vì a, b, c, d > 0 và a bc 
Nên (3) 
Từ (1), (2) và (3) suy ra 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt AQ tại K. 
Ta có: ; Þ Þ KB //AP 
Þ (sole trong) (1) 
DKBA cân tại K (Trung tuyến KM vừa là đường cao). Nên (2) Từ (1) và (2) suy ra (Đpcm) 
DAHB ~ DCMB (g – g) Þ Þ HB. CB = MB. AB 
 = (không đổi)
Ta có SAHC = AB. HC = . HC. Do đó (SAHC)min Û HC Min 
Vì HC = HB + BC nên HC Min Û HB = CB (vì HB. CB không đổi) 
Lúc đó: Tam giác AHC cân tại A 
Vì HB. CB Þ HB2 Þ HB = 
Vậy min SAHC = 
Û Û . 
Do x, y Î N nên xy + 17 > 0 và Suy ra: x – y – 2 > 0. Vì vậy x ³ y + 3 ³ 3 (1)
Lại có nên (2) Từ (1) và (2) Þ 3 £ x £ 4 và x Î N, nên x Î {3; 4}
*) Nếu x = 3 từ (1) Þ y = 0
*) Nếu x = 4 từ (1) Þ y = 0 hoặc y = 1
Trong các cặp số (x; y) Î {(3; 0); (4; 0); (4; 1)} chỉ có cặp (4; 1) thỏa mãn bài toán
Vậy x = 4; y = 1 
5 điểm
1 đ
1đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
5 điểm
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
5 điểm
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
4 điểm
2 đ
1 đ
1 đ
1 điểm
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ