Đế thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2012 - 2013 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI 
ĐẾ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (3 điểm) 
	Cho . 
	Tính giá trị của biểu thức: .
Bài 2. (3 điểm)
	Giải phương trình: 
Bài 3. (3 điểm) 
	Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 
Bài 4. (3 điểm) 
	Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0.
 	Chứng minh rằng: 
Bài 5. (3 điểm) 
	Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N. Chứng minh: PM = PN = PA. 	
Bài 6. (3 điểm)
	Cho tam giác ABC vuông tại C, có . Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh rằng: 
Bài 7. (2 điểm)
	Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1.
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
--- Hết ---
Họ và tên thí sinh:............................................................. Số báo danh :................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(Gồm 04 trang)
CÂU
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Câu 1
Cho .Tính giá trị của biểu thức: .
3.0
0.5
0.5
 là nghiệm của phương trình: 2x2+2x-1=0
0.5
0.5
0.5
 Vậy 
0.5
Câu 2
Giải phương trình: 
3.0
Đặt 
Thay vào pt(1) ta có pt: 
0.5
0.5
Với ta có pt: 
0.5
0.5
Với ta có pt: 
0.5
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm 
0.5
Câu 3
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 
3.0
Ta có (1) 
0.5
Đặt vì x, y nguyên nên a, b nguyên.
Khi đó ta có pt : với a, b nguyên 
0.5
 (vì b nguyên nên 2b - 1 
0.5
0.5
Vì a, b nguyên, nên 2b – 1 phải là ước của 7 
0.5
Với a = 0, b = 1 ta có hệ 
0.25
Với a = 2, b = -3 ta có hệ 
KL : Các số x, y nguyên thoả mãn điều kiện bài toán là : x = y = 1, x = y = -1 
0.25
Câu 4
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0.
 Chứng minh rằng: 
3.0
Từ giả thiết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0 suy ra được 
0.5
Vì P(x) > 0 với mọi x thuộc R nên P(-1)>0
0.5
Suy ra a – b + c > 0.
0.5
Vậy 
0.5
Ta có 
0.5
Áp dụng BĐT Côsi ta có 
Vậy (1) đúng.
0.5
Câu 5
Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N. Chứng minh: PM = PN = PA. 
3.0
Chứng minh được PM=PN
0.5
Gọi I=OAÇd, K=OAÇBC, chứng minh được IA=IK
 0.5
Có PA2 = AI2 + PI2
 = AI2 + PO2 – OI2 (Pitago)222
0.5
 = PO2 – (OI – AI)(OI + AI)
 = PO2 – OK.OA (vì IA = IK)
0.5
 = PO2 – OC222 ( hệ thức trong tam giác vuông OAC)
0.5
 = PO2 – ON222 
 = PN2 ( vì tam giác PNO vuông tại N)
Vậy PA=PM=PN
0.5
Câu 6
Cho tam giác ABC vuông tại C, có . Trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh rằng: 
3.0
Tính được 
0.5
Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo đẳng thức Pơtoleme ta có:
 AD.BC+AB.CD=AC.BD
0.5
0.5
0.5
Vậy ta có:
0.5
0.5
Câu 7
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2.0
Từ giả thiết chứng minh được 
0.5
Do a, b, c Î(0;1) nên a(1-a), b(1-b), c(1-c), 
0.25
Áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dương ta có : 
0.25
Cộng vế với vế của 3 bđt trên ta có: 
0.25
 vì 
0.25
Theo CMT 
0.25
Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy 
0.25
Hướng dẫn chung:
+ Trên đây là các bước giải bắt buộc và biểu điểm tương ứng, thí sinh phải có lời giải chặt chẽ, 
chính xác mới công nhận cho điểm.
+ Mọi cách giải khác đúng cho điểm tối đa.
+ Chấm từng phần. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn, tính đến 0.25 điểm
ST: Phạm Văn Vượng